تحقیق مقاله روش‌های تفاضل متناهی

روابط واضح یا غیرواضح بین مشتقات و مقادیر توابع در نقاط آغازی وجود دارد.

نقاط آغازی بر روی  [a,b] می تواند به وسیله [j= 1,2,…,N] و xj= a+jh به طوریکه  ،  ،  در نظر گرفته شود.

این عبارت برای مشتقات تحت شرایط مقادیر تابعی است.

جواب مسأله مقدار مرزی یک  تفاضل متناهی بوسیله جای‌گذاری معادله دیفرانسیل در هر نقطه آغازین به وسیله یک معادله تفاضلی بدست می آید.

با در نظر گرفتن شرایط مرزی در معادلات تفاضلی، سیستم جبری معادلات مورد حصول حل می شود، این یک جواب عددی تخمینی برای مسأله مقدار مرزی بدست می دهد.

- Linear Second Order Differential Equations

[معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم]   ‍[صفحه 5, 4 ]

به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر توجه می کنیم:  

 ،       (46)(معادله در فایل اصلی موجود است)

در رابطه با شرایط مرزی نوع اول:  ،     (47)

مقدار قطعی u(m) از  با  مشخص شده و مقدار تقریبی آن با  ، با استفاده از سریهای تیلورها می توانیم مشخص کنیم که:

          (  .42)

(معادله در فایل اصلی موجود است)

به طوری که  و

        (49)

(معادله در فایل اصلی موجود است)

به طوری که  

ما فرض کردیم که پیوستگی  بدین صورت است:

به طوری که  .

با در نظر گرفتن شرایط  در 48 ، 49 و جایگذاری در 46 ، تفاضل تقریبی متناهی معادله دیفرانسیل مذکور در  به صورت زیر است:(معادله در فایل اصلی موجود است)

    (  .50)

شرایط مرزی (  .42) به صورت زیر تبدیل می شود:

                 (  .51)

پس از ضرب با   ، (  .50) می تواند به صورت زیر نوشته شود:

 و    (  .52)

به طوری که:(معادله در فایل اصلی موجود است)

 و  و  

سیستم (  .52) در نوشتار ماتریسی، پس از لحاظ شرایط مرزی، تبدیل می‌شود به:

(  .53)           Au=b(معادله در فایل اصلی موجود است)

به طوری که:         

حل سیستم معادلات خطی (  .53) جواب تفاضل متناهی معادله دیفرانسیل   ( .46) را ارائه می دهد که پاسخگوی شرایط مرزی مدنظر است.

(معادله در فایل اصلی موجود است)

اشتباه بریدگی داخلی. (p.565) (خطای برش)

غلط بریدگی داخلی  از معادله (  .52) بوسیله

   (  .54)(معادله در فایل اصلی موجود است)

نشان داده می شود. به طوری که  

بسط هر شرط در طرف اول معادله ( .54) در سری تیلور آن مول  ، بدست می دهد:

  (  .55)(معادله در فایل اصلی موجود است)

به طوری که  .

بنابراین روش مذکور، روش حل معادله مرتبه دوم می باشد.

شرایط مرزی اشتقاقی: (p.596)

هم اکنون توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:

         (  .56)(معادله در فایل اصلی موجود است)

تفاضل تقریبی معادله دیفرانسیل (  .46) در گره‌های داخلی j=1,2,…,N  ، بوسیله معادله (  .52) داده شده که دارای N+2 مجموع در N معادله می‌باشد. هم اکنون ما نیاز داریم دو یا چند معادله متناظر برای شرایط مرزی ( .56) بیابیم.

با حذف شرایط  در ( .48) ، تفاضل تقریبی متناهی ( .56) به صورت زیر می باشد:

در   :                       یا

                  (  .57) (معادله در فایل اصلی موجود است)

در       یا

           ( .58)(معادله در فایل اصلی موجود است)

به طوری که   و  ، مقادیر تابعی در  و  می باشند. گره‌های  و  خارج از بازه [a,b] قرار دارند و گره‌های غیرواقعی خوانده می‌شوند:

دیفرانسیل:

مقادیر   و  می توانند با این فرض که معادله تفاضلی ( .52) برای N+1 و j= 0 در نقاط مرزی   و  باقی می ماند و می تواند نادیده گرفته شود.

جایگذاری مقادیر   و  در (  .57) و ( .58) در معادلات ( .52) به ازای N+1 و j= 0 ما را می رساند به:

   ( .59)(معادله در فایل اصلی موجود است)

معادلات   ، ( .52) ،  و  یک سیستم سه‌گانه از معادلات بوجود می آورند.

تا زمانی که تفاضل تقریبی ( .52) برای معادله دیفرانسیل ( .46) و تفاضلات تقریبی ( .59) برای شرایط مرزی ( .56) ، همگی مرتبه دوم هستند. تمام معادلات برای  ، همچنین مرتبه دوم هستند.

به طور متقابل، ما نمی توانیم از نقاط غیرواقعی  ،  استفاده کنیم. در این مورد ما می توانیم از تقریب های زیر استفاده کنیم:

یا(معادله در فایل اصلی موجود است)

 ( .60)    

    ( .61)

یا(معادله در فایل اصلی موجود است)

تا زمانی که تقریب های ( .60) ، ( .61) از نوع اول هستند، تمام معادلات    

( .60)   ، (7.62) و (7.61) برای j= 0,…,N+1  نمی توانند مرتبه دوم بمانند. این معادلات همچنین یک دستگاه معادلات تشکیل می دهند.

یا

   ( .62)       (معادله در فایل اصلی موجود است)

یا

                  ( .63)(معادله در فایل اصلی موجود است)

تا زمانی که تقریب های ( .62) و ( .63) از مرتبه دوم هستند، تمام معادلات ( .62)، ( .52) و ( .63)  برای   همچنین از مرتبه دوم هستند. اگر ما  را از (  .62) که از اولین معادله مجموعه ( .52) استفاده می کند. و  را از ( .63) که از آخرین معادله مجموعه ( .52) حذف کنیم سپس معادلات حاصله یک دستگاه معادلات سه‌گانه تشکیل می‌دهند.

(معادله در فایل اصلی موجود است)

روش مرتبه چهارم در غیاب  در ( .46) . (p.598)

به معادله دیفرانسیل زیر توجه کنید:

   ( .64)(معادله در فایل اصلی موجود است)

که در ارتباط با شرایط مرزی نوع اول ( .42) است.

برای این مسئله ما می توانیم یک روش مرتبه بالاتر یا مرتبه چهارم بسازیم. ما معادله دیفرانسیل را به صورت زیر:

           ( .65)(معادله در فایل اصلی موجود است)

و یک روش Numeruv برای حل آن می نویسیم.

(معادله در فایل اصلی موجود است)

    ( .66)   

( .67)  (معادله در فایل اصلی موجود است)

شرایط مرزی اشتقاقی برای ( .56)  . (p.598)

بار دیگر توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:

      ( .68)(معادله در فایل اصلی موجود است)

     ( .69)(معادله در فایل اصلی موجود است)

نظر به اینکه روش Numeruv ( .67) برای ( .65) از مرتبه چهارم می‌باشد، به تقریبات مرتبه چهارم برای  و  نیاز داریم. با  ،  و  با استفاده از بسط سری تیلور می نویسیم:

       ( .70)(معادله در فایل اصلی موجود است)

با استفاده از قانون سیسمون برای بررسی کران انتگرال طرف راست داریم:

                    ( .71)(معادله در فایل اصلی موجود است)

به طوری که  و   

  تخمین خطا از  می باشد.

هم اکنون به یک تخمین برای  نیاز داریم. با استفاده از سری‌های تیلور می نویسیم:

       ( .72)(معادله در فایل اصلی موجود است)

تخمین خطار از  می باشد. اگر تخمین ( .72) در ( .71) مورد استفاده قرار گیرد، سپس مرتبه‌اش را با  حفظ می کند. بنابراین با شکل دادن ( .71) ، ( .70) و ( .72) تخمین زیر را داریم:

         ( .73)(معادله در فایل اصلی موجود است)

                 ( .74)  (معادله در فایل اصلی موجود است)