چکیده
هدف از این تحقیق بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی با تابع خانواده زیر جمعی و احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است.
مدلی از فرآیند شاخه ای دو جنسی مفروض است به طوری که توزیع زاد و ولد به اندازه جمعیت بستگی دارد. همچنین حالت خاص را در نظر می گیریم که در آن نرخ رشد جمعیت (میانگین توزیع زاد و ولد)، وقتی به میل می کند .
برای این نوع از فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی شرط لازم برای همگرایی فرآیند در و ارائه می گردد.
همچنین شرط کافی برای همگرائی در به دست خواهد آمد.
مقدمه
تا کنون مطالعات زیادی روی نحوه رشد جمعیت و احتمال انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد انجام شده است. در حالت دوجنسی (که مدل مناسبی برای جامعه انسانی است) تعمیم این قضایا لازم به نظر می رسد. زمانی که ما چگونگی رشد جمعیت را بدانیم، می توانیم زمان انقراض رفتار مجانبی رشد جامعه را بررسی کنیم و مدل مناسبی برای آن بدست آوریم.
فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون دو جنسی اولین بار توسط دالی در سال 1968 و پس از آن توسط آسمونس در سال 1980 تعریف و بررسی شد. دالی نشان داد که فرآیند شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی یک زنجیر مارکوف با ماتریس احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای با فضای حالت صحیح و نامنفی است.
در نظریه فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد می دانیم که فرآیند با احتمال 1 منقرض می شود اگر و فقط اگر میانگین تولید مثل برای هر فرد دلخواه کمتر از 1 باشد.
حال ما می خواهیم بدانیم «آیا قوانین متشابهی برای احتمالات انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی وجود دارد؟»
در سال 1968 دالی یک شرط لازم و کافی برای احتمال انقراض 1 برای فرآیندهای با توابع خانواده خاص به دست آورد.
هدف از این تحقیق معرفی فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی و فرآیند زوجهای هم خانواده و بیان ویژگی های آنها و مقایسه احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است ابتدا شروط انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی را بررسی می کنیم سپس قوانین کلی انقراض و در نهایت گشتاورهای فرآیند و برخی خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم.
فصل اول
فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد
1-1-مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
1-2-فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد
مقدمه
هدف از این فصل ارائه مطالب کلی و مورد نیاز برای مطالعه فصل های بعدی می باشد در بخش اول برخی از تعاریف و قضایای مقدماتی را که بعداً به آنها نیاز خواهیم داشت بررسی می کنیم و در بخش دوم فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد و برخی خواص عمومی آن را مورد مطالعه قرار می دهیم.
1-1- مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف 1-1-1: یک فرآیند تصادفی عبارتست از گرد آیه ای مانند از متغیرهای تصادفی ، که در یک فضای احتمال مشترک و با مقادیر در فضای حالت S تعریف می‌شوند. T زیر مجموعه‌ای از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبیر می‌شود .
هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان پیوسته می نامند و هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان گسسته نامند.
معمولاً اگر فرآیند را به صورت نمایش می دهند.
فرآیند مورد نظر ما در این رساله فرآیند با زمان گسسته است.
تعریف 1-1-2: فرض کنید فرآیند تصادفی با زمان گسسته و فضای حالت شمارای S باشد گوئیم این فرآیند یک زنجیر مارکوف است اگر به ازای هر و هر و y از حالتها، رابطه زیر برقرار باشد:
(1-1)
(معادله در فایل اصلی موجود است)
یعنی فقط اطلاع از حالت فرآیند در مرحله n برای تعیین توزیع حالت فرآیند در مرحله کفایت می کند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.
احتمال شرطی را احتمال انتقال یک مرحله ای از x در مرحله n ام به y در مرحله ام می نامیم. احتمالات انتقال را با نشان میدهیم بنابراین:
(معادله در فایل اصلی موجود است)
ماتریس را که درایه های آن احتمالهای انتقال یک مرحله است ماتریس احتمال انتقال یک مرحله ای می‌نامیم.
سطر x ام این ماتریس احتمالهای انتقال از x به یکی از حالتهای زنجیر در یک مرحله است، اگر احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان مستقل باشد گوئیم فرآیند مارکوف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد.
تعریف 1-1-3: فرض کنید دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده بر فضای احتمال باشد. همچنین دنباله ای از میدانهای باشد که برای هر n داشته باشیم :
(معادله در فایل اصلی موجود است)
است اگر:
یک زیر مارتینگل نسبت به است اگر :
آ.به ازاء هر n.، روی اندازه پذیر باشد.
ب : به ازاء هر n ،
ج : به ازاء هر n ،
هر گاه یک زیر مارتینگل باشد ، آنگاه یک زیرمارتینگل است .
هر گاه و یک زیر مارتینگل باشند آنگاه یک مارتینگل نسبت به می باشد .
تعریف 1-1-4 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشند ،دنباله همگرای a.s. به متغیر تصادفی X است اگر :
(معادله در فایل اصلی موجود است)
تعریف 1-1-5 : فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد . گوئیم این دنباله در به متغیر تصادفی X همگراست هر گاه :
(معادله در فایل اصلی موجود است)
تعریف 1-1-6 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد دنباله همگرا در احتمال به متغیر تصادفی X است . هر گاه بازاء هر
لم 1-1-1 : فرض کنید متغیرهای تصادفی در یک فضای احتمال باشند ، اگر وقتی همگرا در به X باشد ، آنگاه همگرا a.s. به X است .
لم 1-1-2 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد . اگر وقتی ، همگرایی a.s. به X باشد آنگاه همگرا در احتمال به X است .
لم 1-1-3 : (قضیه همگرائی مارتینگل ها) : آ : فرض کنید یک زیر مارتینگل صادق در :
باشد . در این صورت یک متغیر تصادفی متناهی مانند X وجود دارد که با احتمال یک به همگراست یعنی
(1-2)(معادله در فایل اصلی موجود است)
لم 1-1-4 : (نامساوی جانسن) : آ : متغیر تصادفی X مفروض است . اگر g(x) تابعی مقعر باشد آنگاه :
ب : متغیر تصادفی X مفروض است . اگر g(x) تابعی محدب باشد آنگاه :
(معادله در فایل اصلی موجود است)
لم 1-1-5 : به فرض f انتگرال پذیر و نزولی بر باشد ، و در این صورت :
(معادله در فایل اصلی موجود است)
اگر و فقط اگر :
(معادله در فایل اصلی موجود است)