تحقیق مقاله ایده آل های خطی به ترتیب کوهن - مکوالی

چکیده- G را یک نمودار غیرمستقیم ساده n راسی در نظر بگیرید و بگذارید  برایده آل خطی مرتبطش دلالت کند. مانشان می دهیم که تمام نمودارهای و تری G ، به ترتیب کوهن- مکوالی هستند ، دلیل ما بر پایه نشان دادن این است که دوگانه الکساندر I(G) ،خطی و ازمولفه است.

نتیجه ما فرضیه فریدی را که می گوید ایده آل درخت ساده شده به ترتیب کوهن- مکوالی، هرزوگ، هیبی، می باشد، وفرضیه ژنگ که می گوید یک نمودار وتری کوهن-مکوالی است اگر و تنها اگر ایده آل خطی اش در هم ریخته نباشد، را تکمیل می کند. ما همچنین ویژگی های دایره های مرتب کوهن- مکوالی را بیان می کنیم و نمونه‌هایی از گراف های مرتب غیروتری کوهن- مکوالی را هم ارائه می کنیم.

1-مقدمه

G را یک گراف ساده n راسی در نظر بگیرید پس G هیچ حلقه یا خطوط چندگانه ای پهن دو راس ندارد.) رئوس ومجموعه های خطی G توسط EG,VG را به ترتیب نشان دهید. ما ایده آل تک جمله ای غیر مربع چهارگانه  با K که یک میزان است و جایی که  را به G ارتباط می دهیم.ایده ال  ایده آل خطی Gنامیده می شود.

توجه اولیه این مقاله  ایده آل های خطی گراف های وتری است. یک گراف G وتری است اگر هر دایره طول  یک وتر داشته باشد. اینجا اگر  ،خطوط یک دایره طول n باشند، ما می گوییم که دایره وری یک وتر دارد اگر دو راس xj,xi در دایره به نحوی وجود داشته باشند که  یک خط برای G باشند اما  خطی در دایره نباشد.

ما می گوییم که یگ گراف G کوهن –مکوالی است اگر  کوهن-مکوالی باشد. چنانکه هرزوگ، هیبی و ژنگ اشاره می کنند، طبقه بندی تمام گراف های کوهن-مکوالی شاید اکنون قابل کشیدن نباشند، این مسئله به سختی طبقه بندی کردن تمام مجموعه های ساده شده کوهن-مکوالی است.]9[.البته هرزوگ، هیبی و ژنگ در ]9[ ثابت کردند که وقتی G یک گراف وتری باشد،پس G در هر میدانی کوهن-مکوالی است اگر وفقط اگر  به هم نریخته باشد.

ویژگی کوهن –مکوالی به ترتیب بودن، که شرایطی است ضعیف تر از کوهن-مکوالی بودن، توسط استنلی ]14[ در ارتباط با تئوری قابلیت جدا شدن غیرخالص [1] معرفی شد.

تعریف 1-1- را در نظر بگیرید. یک M معیار B درجه دار کوهن –مکوالی به ترتیب نامیده می شود اگر یک تصفیه معین از معیارهای R درجه بندی وجود داشته باشد.

به نحوی که  کوهن –مکوالی باشد، و ابعاد کرول خارج قسمت در حال افزایش باشند:

ما میگوییم یک گراف G کوهن-مکوالی به ترتیب است و در K اگر  کوهن-مکوالی به ترتیب باشد. ما می توانیم به نتیجه هرزوگ، هیبی و ژنگ بر سیم البته با استفاده از این تضعیف شرایط کوهن-مکوالی. نتیجه اصلی ما فرضیه زیر است (که مستقل از خاصیت (K) است.

فرضیه 2-1 فرضیه 2-3.تمام گراف های وتری کوهن-مکوالی به ترتیب هستند.

بنابراین حتی گراف های وتری که ایده آل های خطی نشان در هم نریخته نیستند نیز هنوز یک ویژگی جبری را دارا هستند.فرضیه 2-3 همچنین حالت یک بعدی کار فردی در توده های ساده شده ]3[ را نیز عمومیت می بخشد.

مقاله ما به صورت زیر سازمان می یابد. در قسمت بعدی ، ما نتایجی از این ادبیات درباره دوگانگی الکساندر ودرباره گراف های وتری جمع می کنیم. در بخش 3،فرضیه 2.3 را ثابت می کنیم.

ما برخی از گراف های غیروتری در قسمت 4 را که دایره های کوهن-مکوالی را به ترتیب طبقه بندی می کنند بررسی می کنیم و در مورد برخی ازویژگی های گراف‌های شامل دایره های –n برای n>3 تحقیق می کنیم.

همچنین شرایط کافی را برای گرافی که نمی تواند کوهن-مکوالی به ترتیب باشد ،ارائه می کنیم.

2-اجزا مورد نیاز

درطول این مقاله، G بر یک گراف ساده روی رئوس n با مجموعه نقطه ای VG ومجموعه خطی EG دلالت می کند. ایده آل خطی  ،جایی که  را به G مربوط می سازیم.

گراف کامل در رئوس n که بر Kn دلالت شده است،گرافی است با مجموعه خطی ، یعنی گراف این ویژگی را دارد که خطی بین هر جفت رئوس وجود دارد. اگر x نقطه ای در G باشد باید بنویسیم N(x) که بر همسایه‌های x دلالت کند،یعنی آن رئوسی که خطی را با x شریکند. ما ابتدا باید به حالتی توجه کنیم که G یک گرافی وتری است.گراف های وتری ویژگی زیر را دارند:

لم 21- G,[6,7,12,15] را یک گراف وتری در نظر بگیرید، x را یک زیر نمودار کامل از G در نظر بگیرید.اگر  ،پس نقطه ای به نام  وجود داردکه زیرگراف به وجود آمده توسط مجموعه همسایه  مربوط به x، یک گراف کامل باشد. این امر همچنین زیر نمودار به وجود آمده در  را وادار می کند که یک زیر گراف کامل باشد.

یک پوشش راس گراف G یک زیر مجموعه از VG است به نحوی که هر خط G حداقل به یک راس A برخوردار داشته باشد. توجه کنیدکه ما هیچ وقت به داشتن یک راس مجزا در پوشش راس نیاز نداریم.

مثلا ، اگر ما گرافی در سه راس  داشته باشیم و  تنها خط موجود باشد، پس  هر دو پوشش های راس هستند. پوشش های راس یک گراف G به دو گانه  الکساندر مربوطند.

تعریف 2-2- I را یک ایده آل تک جمله ای غیرمربع در نظر بگیرید. دوگانه الکساندر غیرمربع ایده آل

  است.

پس نتیجه ساده ای گرفته می شود:

لم 3-2- G را یک گراف ساده با ایده آل خطی  در نظر بگیرید.پس

یک پوشش راس برای G است.

یک تجزیه درجه بندی شده آزاد حداقل به هر ایده آل همگون I از R مرتبط است.

که در آن R(j) بر معیار R به دست آمده از تغییر درجات R توسط j دلالت می کند. عدد ij,Bi,j(I) امین عدد درجه بندی شده «بتی» مربوط به Iاست و برابر تعداد حداقل مولد های درجه j در I امین معیار یک جفتی است.

تعریف 4-2-فرض کنید که I ایده آل همگون R است که تمام مولدهایشان در جه d دارند. پس I یک تجزیه خطی دارد اگر تما  برای تمام  برای یک ایده آل همگون I ، ما (Id) را می نویسیم که بر ایده آل تبدیل شده توسط تمام عناصر که درجه d دارند،دلالت می کند. توجه کنید که (Id) با Id فرق می کند، که فضای برداری تمام عناصر I با درجه d است.هرزوگ وهیبی تعریف زیر را در ]7[ معرفی کردند.

تعریف 5-2-یک ایده آل همگون I خطی و از مولفه است اگر (Id) یک تجزیه خطی برای تمام d4 داشته باشد.

اگر I توسط تک جمله ای های غیرمربع تبدیل شود،بگذارید I(d) بر ایده‌آل تبدیل شده توسط تک جمله های غیر مربع درجه d برای I دلالت کند. هرزوگ وهیبی ] 7،قضیه 5-1[ نشان دادند که :

فرضیه 6-2-فرض کنید I یک ایده آل تک جمله ای تبدیل شده توسط تک جمله های غیرمربع باشد.

پس I خطی و از مولفه است اگر وتنها اگر I[d] یک تجزیه خطی برای تمامی d ها داشته باشد.

یک فرد می تواند از خارج قسمت های خطی برای تعیین اینکه ایده آل یک تجزیه خطی دارد استفاده کند.