مقدمه
در جبر عموما لگاریتم معمولی یا لگاریتم در پایه 10 عدد b را توانی تعریف می‌کنند که 10 باید به آن برسد تا b بدست آید: (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) فرض کنیم چنین عددی موجود بوده و از لگاریتمها برای ساده‌کردن ضرب اعدادی که ارقام اعشاری زیادی دارند استفاده می‌کنیم.
تعریف
تابع لگاریتم طبیعی (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) بصورت زیر نمایش داده می‌شود:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 ، و از طرف راست به خط t=x محدود است.
تاریخچه
در اواخر قرن شانزدهم یک بارون اسکاتلندی به نام جان نپر (1550-1617) ابزاری بنام لگاریتم ابداع کرد که با تبدیل ضرب به جمع کار محاسبه را ساده می‌کند؛ یعنی داریم:
لگاریتم x + لگاریتم a = لگاریتم ax
برای ضرب دو عدد مثبت x,a از یک جدول ، لگاریتم‌های x,a را پیدا می‌کنیم، سپس این لگاریتمها را بهم می‌افزائیم مجموع حاصل را در داخل جدول می‌یابیم، و بالاخره حاصلضرب مطلوب ax را از حاشیه جدول می‌خوانیم. مسلما در دست داشتن جدول کلید کار بود، به همین سبب نپر در دو دهه آخر زندگی‌اش را صرف تهیه جدولی کرد که هیچگاه نتوانست آن را تمام کند. و این در حالی بود که تیکو براهه ستاره شناس ، مشتاقانه در انتظار این جدول بود تا می‌تواند محاسبات خودش را تسریع بخشد
مشتق تابع لگاریتم طبیعی
چون تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) با انتگرال ذکر شده در قسمت تعریف ، تعریف می‌شود، فورا از نخستین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال نتیجه می‌شود که مشتق تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) برابر (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) خواهد بود. بنابراین اگر u تابع مشتق پذیری از x باشد، آنگاه از قاعده زنجیری داریم:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
فرمول کلیتر زیر بدست می‌آید:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
مشتقگیری لگاریتمی
گاهی یک تابع با معادله‌ای پیچیده داده شده با گرفتن لگاریتم از طرفین آن پیش از مشتقگیری می‌توان مشتقش را سریع‌تر حساب کرد.
خواص (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
قلمرو: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت ، x>0
برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
این تابع بر قلمرو خود پیوسته و صعودی است هر گاه (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) آنگاه (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) این تابع یک تابع یک‌به‌یک از قلمرو خود به بردش است، بنابراین دارای معکوس است.
حاصلضرب ، خارج قسمت و توان: هر گاه x,a دو عدد مثبت باشند. آنگاه:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
معکوس تابع لگاریتم
چون (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) یک‌به‌یک و مشتقپذیر است، دارای معکوس مشتقپذیر (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) می‌باشد نمودار (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) منعکس نمودار تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) نسبت به خط y=x است. این نمودار تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) نیز می‌باشد. تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) به ازای هر عدد حقیقی x مساوی (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) می‌باشد. تابع حاصل تابع مشتق پذیری از x است که به ازای هر x حقیقی (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) تعریف شده است و بعنوان تابع نمایی از آن یاد می‌شود که e را پایه و x نما خوانده می‌شود. همچنین توجه می‌کنیم که حد تابع نمایی زمانی که x بسمت بی‌نهایت میل می‌کند برابر بی‌نهایت است و زمانی که x بسمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند این حد برابر صفر می‌شود.
معادلات شامل (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
چون این دو تابع معکوس یکدیگرند، به ازای هر (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) داریم (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) :
و به ازای هر x: (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) میزان‌های نسبی رشد توابع
تعریف
وقتی a عدد مثبتی غیر از یک باشد. تابع (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) مشتقپذیر و یک‌به‌یک است. لذا معکوس مشتقپذیر دارد که ما آن را لگاریتم x در پایه a نامیده و با (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) نشان می‌دهیم.
چون دو تابع ذکر شده در قسمت معکوس یکدیگرند بنابراین ترکیب آنها با هر ترتیبی تابع همانی می‌شود.
توجه می‌کنیم که لگاریتم x نمایی است که وقتی پایه به این نما می‌رسد x بدست می‌آید.
محاسبه(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
عدد (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) را همیشه می‌توان از لگاریتم‌های طبیعی x,a با فرمول زیر حساب کرد:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
خواص(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
خواص زیر مشابه خواص است و به آنی بدست می‌آید:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
تبصره در باب نمادگذاری
در بسیاری از کتب پیشرفته و مقالات تحقیقی در ریاضی از (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) ، بدون ذکر پایه برای نمایش طبیعی استفاده شده است. در بسیاری از کتب علوم طبیعی (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) برای نمایش (فرمول در فایل اصلی قرار دارد.) بکار رفته است. لگاریتم در پایه 10 اغلب لگاریتم معمولی نامیده می‌شوند.
کاربردها
ابداع لگاریتم در قرن شانزدهم و هفدهم بزرگترین پیشرفت در حساب بوده است و قبل از اختراع کامپیوتر از مهم‌ترین ابداعات بحساب می‌آید. لگاریتمها حساب دریانوردی را سامان بخشید. کاربرد آن را در علوم و مهندسی و همچنین نجوم نباید انکار کرد. بدین ترتیب که محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت.
لگاریتم‌های معمولی اغلب در فرمول‌های علمی بکار می‌روند مثلا: شدت زلزله بر حسب ریشتر توسط فرمول زیر بدست می‌آید:
(فرمول در فایل اصلی قرار دارد.)
که در آن a دامنه حرکت زمین به میکرون در ایستگاه گیرنده و T دوره تناوب موج زلزله به ثانیه و B عاملی تجربی است که با افزایش فاصله از مرکز زلزله موجب تضعیف موج زلزله می‌شود.
یکی دیگر از موارد استعمال لگاریتم‌های معمولی عبارتند از واحد دسیبل برای سنجش شدت صوت.
اندازه‌گیری واحد PH برای سنجش اسیدی بودن.