یک آتش سوزی بزرگ ... در جنگلی بزرگ ... هزاران درخت ... می‌سوزند و جز خاکستر چیزی نمی ماند تا حالا به موضوع آتش سوزی در جنگل فکر کردید؟ موضوع دردناکیه وقتی می‌شنویم هزاران هکتار از جنگلها در فلان کشور بر اثر آتش سوزی سوختند ... خبر دردناکیه ... اما به نظرتون چطور می‌شود خسارات را کمتر کرد! نه منظور این نیست که چطوری پیش گیری کنیم فرض کنید آتش سوزی به هر حال، به هر دلیلی راه افتاد در چه شرایطی درختهای کمتری می‌سوزند؟ چیزهایی مثل باد، جنس درختها، رطوبت منطقه ... اینها دست ما نیست اما در کشورهایی مانند برزیل که صنعت تولید کاغذ بسیار گسترده ای دارند جنگلهای بسیار بزرگ مصنوعی وجود دارد که برای تولید مواد اولیه کارخانه های کاغذ سازی ایجاد شدند. برخلاف جنگلهای طبیعی توی این جنگلها فاصله و جای کاشته شدن درختها کاملاً قابل کنترل هست. و البته آتش گرفتن یک چنین جنگلهایی شاید باعث ورشکستگی بسیار سخت و بیکار شدن آدمهای زیادی بشه ... پس سؤالمان را به یک سؤال ساده تقلیل می‌دهیم توزیع محل کاشته شدن درختها چه طور باشد تا بعد از یک آتش سوزی تعداد درخت سالم بیشتری داشته باشیم؟
خوب فرض کنید جنگل بسیار انبوهی داشته باشیم. به وضوح با وقوع آتش سوزی دامنه آتش به راحتی گسترش پیدا می‌کند و با فرض اینکه هیچ تلاشی برای خاموش کردن آتش نکنیم بعد از مدت زمان محدودی تمامی جنگلها به خاکستر تبدیل می‌شود. اما اگر جنگل ما اصطلاحاً تنک باشد شاید رشد آتش متوقف شود و از مناطق آتش گرفته به مناطق مجاور گسترش نیابد ... یعنی فاصله درختان آنقدر زیاد باشد که با آتش گرفتن یک درخت یا تعدادی درخت، فقط خود آنها بسوزند نه اینکه آتش به راحتی به همسایه‌ها منتقل شود. اما خوب تنک کردن یک جنگل تا این حد شاید به این دلیل اقتصادی نباشد که در مساحت وسیعی از زمین تنها می‌توانیم تعداد کمی درخت داشته باشیم. یادتان نرود تهیه کل مواد اولیه یک کارخانه بزرگ به عهده ما و جنگلمان است!
برای ساده سازی فرض می‌کنیم جنگلها یک شبکه مربعی شکل است یعنی منطقه ای متشکل از هزاران مربع کنار هم مثل جدول کلمات متقاطع.
در هر مربع یا سایت می‌توانیم یک درخت داشته باشیم. یا اینکه اصلاً درختی در آن نباشد. داخل هر مربع را می‌توانیم با یک احتمال مشخص درخت بکاریم. هر چه این احتمال بیشتر باشد درختان بیشتری خواهیم داشت و هر چه این احتمال کمتر باشد جنگلمان تنک تر است.
پس سؤال قبلی به این صورت عوض می‌شود. در یک جنگل به صورت یک شبکه مربعی در هر مربع با چه احتمالی درخت کاشته شود تا در صورت آتش سوزی تمام درختان نسوزند.
فرض کنید اگر یک درخت آتش بگیرد یعنی یک مربع آتش بگیرد در صورتی که در 8 مربع همسایه با این مربع درختی وجود داشته باشد آنها هم آتش بگیرند. اما اگر در این 8 مربع هیچ درختی نبود فقط خود آن درخت اول بسوزد. با این مدل جنگل زیر با بروز یک آتش سوزی کاملاً خواهد سوخت.
خانه های سبز خانه های حاوی درختند.
اما در جنگل زیر اگر خانه سرخ رنگ آتش بگیرد فقط 4 درخت که به نوعی به آن متصلند خواهند سوخت.
البته واضح است که جنگل دوم جنگل تنک تری است.
در واقع درختانی که آتش می‌گیرند متعلق به یک خوشه هستند خوشه ای که درخت آتش گرفته اول نیز در آن خوشه بوده است. ما علاقه مندیم که هیچ وقت یک خوشه بسیار بزرگ نداشته باشیم. چون اگر یک درخت از این خوشه آتش بگیرد تعداد زیادی درخت خواهند سوخت. اگر جنگلمان خیلی انبوه باشد تمامی درختان به یک خوشه متعلق خواهند بود... درست است؟ و این یعنی زمینه یک فاجعه!
حالا بیایید برویم سر یک سؤال دیگر ...
فرض کنید یک توری فلزی در اختیار داریم که خانه هایشان مربعی هستند. یک توری آلومینیومی از همین‌ها که باهاش خانه مرغ و خروس می‌سازند.
به دو سر این توری یک باطری وصل می‌کنیم خوب حتماً یک جریانی در این توری برقرار می‌شود. حالا شروع می‌کنیم چیدن تکه تکه سیمها یعنی قطع کردن اتصالات مثل شکل زیر:
این باعث می‌شود کم کم مقاومت این شبکه یعنی مقاومت بین نقاط A و B زیاد شود. و اگر به کارمان ادامه دهیم بعد از مدتی اصلاً شبکه، جریانی را از خود عبور نمی دهد و مدار قطع می‌شود.
فرض کنید هر اتصال را با احتمال P قطع کنیم. یعنی به هر اتصال که می‌رسیم تاسمان را بیندازیم و با احتمال P آن اتصال را قطع کنیم و با احتمال (1-p) بدون اینکه آن را قطع کنیم از آن بگذریم.
در واقع وقتی جریان قطع می‌شود که خوشه اتصالات قطع شده یک خوشه بینهایت باشد ... می‌بینید چقدر این مسأله به مسأله قبلی شبیه است ...
اگر خودتان بیشتر فکر کنید کلی نکته جالب می‌یابید...
در این مسأله هم وقتی یک سیم را قطع می‌کنیم. اتصال بین دو تا از گره های توری قطع می‌شود. حتی برای ایجاد شباهت بیشتر می‌توانیم روند قطع کردن سیمها را به شکل زیر عوض کنیم:
به هر گروه که رسیدیم با احتمال P تمامی سیمهای متصل به آن گره را ببریم. در اصل آن گره را کلاً حذف کنیم. این کاملاً شبیه این است که یک درخت را از جنگلمان حذف کنیم. با حذف یک گره اتصال بین گره های مجاور از مسیر آن گره، قطع می‌شود. همانطور که در جنگل برداشتن یک درخت یا نبودن یک درخت در یک مربع اتصال بین مربع های ( درختهای ) مجاور آن درخت قطع شده را قطع می‌کند یا بهتر است بگویم اتصال از طریق یک واسطه از بین می‌رود.
پس حالا ما به جای اینکه برای پیدا کردن جواب سؤال اولمان راجع به جنگل مجبور باشیم هی جنگل آتش بزنیم! کافی است یک تکه طوری را برداریم و دست به کار شویم گفتیم که با افزایش احتمال کاشتن درخت یا مثلاً اینجا قطع نکردن گره‌ها خوشه های بزرگتری تشکیل می‌شود.
اما آیا با یک رفتار معمولی خطی سروکار داریم یعنی احتمال تشکیل خوشه بینهایت ( خوشه ای که تقریباً همه سایتها را در خود داشته باشد ) با افزایش احتمال وجود درخت در یک سایت یا بریده نشدن یک گره، به طور خطی افزایش می‌یابد؟