کارشناسی ارشد عمران آب
پروژه درس هیدرولوژی مهندسی پیشرفته
- مقدمه:
پیش بینی یک عنصر کلیدی در تصمیم گیری مدیریت است. کار آیی نهائی هر تصمیمی‌بستگی به طبیعت یک دنباله از حوادث دارد که متعاقب آن تصمیم می‌آید. توانایی برای حدس زدن جنبه های غیر قابل کنترل این حوادث قبل از تصمیم گیری باید به امکان انتخاب بهتری نسبت به موردی که این توانایی در دسترس نباشد بیانجامد. به این دلیل سیستمهای مدیریت برای طرح ریزی و کنترل عملیات یک سیستم نوعا از یک تابع پیش بینی برخوردارند. برای مثال در علم هیدرولوژی هر گونه طرح و برنامه ریزی که در حوضه های آبریز ومخازن مربوط به آن صورت می‌گیرد بایستی بر اساس تجزیه و تحلیل داده ها و شناخت الگویی برای سیستم و اطلاعات مربوط به خواص هیدرولوژیکی آن حوضه باشد به این داده های متغیرهای هیدرولوژیکی گفته می‌شود و شامل اطلاعاتی است که در تصمیم گیری نقش موثر وحیاتی دارد. ملاحظه می‌شود که پیش بینی حدس وتخمینی از رویدادهای آینده است..هدف پیش بینی کاهش ریسک در تصمیم گیری است. با تخصیص منابع بیشتری به پیش بینی قادر به اصلاح وتکمیل دقت پیش بینی می‌شویم.
یکی از روشهای تجزیه وتحلیل داده ها در هیدرولوژی روش استوکستیکی و استفاده از مدلهای استوکستیکی است. در این پروژه هدف نهایی تجزیه و تحلیل سری زمانی مربوط به دبی متوسط سالانه رودخانه ای برای مدت 50 سال و مدل سازی و پیش بینی برای 50 سال آینده خواهد بود.
2- تعاریف
1-2 سری زمانی
مشاهدات وآماری که بافاصله زمانی یکسان به دست آمده باشند سری زمانی نامیده می‌شوند. اگر پدیده ای معین باشد سری زمانی آن معین واگر احتمالی باشد سری زمانی آن احتمالی نامیده می‌شود.
چند الگوی مشخصات سریهای زمانی در شکل زیر نشان داده شده اند که در آن Xt مشاهده برای پریود t است
(شکل در فایل اصلی موجود است)
شکل 1- مشخصات سریهای زمانی
الف) فرآیند ثابت ب) روند خطی ج) تغییرات سیکلی د) ضربه ه) تابع پله ای
و) جهش
هر یک از حالات در شکل فوق توصیف کننده الگو و مثال خاصی می‌باشد در این پروژه بعلت سالانه بودن داده ها ما با حالتهای الف وب سرو کار خواهیم داشت که در قسمت مربوطه توضیح داده می‌شود.
2-2 مدلهای استوکستیکی
قبل از اینکه با در دست داشتن یک سری آماری بخوایم مدل استوکستیکی مناسب را انتخاب کنیم، می‌بایست خواص اولیه آماری داده ها را تعیین کرد. این خواص شامل میانگین، واریانس، انحراف استاندارد و ضریب چولگی می‌باشد. از دیگر خواص آماری در سریهای زمانی، تعیین و محاسبه اتوکواریانس (Auto covariance) است که درجه خود وابستگی سری زمانی را نشان می‌دهد. برای مثال جهت تعیین تاخیر k از سری زمانی از رابطه زیر استفاده می‌نماییم.
(فرمول در فایل اصلی موجود است)
از خواص دیگر تابع همبستگی (Auto correlation function) است تابع همبستگی با تاخیر k را با نمایش داده و داریم
(فرمول در فایل اصلی موجود است)
روش دیگر برای عنوان نمودن وابستگی زمانی از ساختار یک سری زمانی, تابع همبستگی جزئی (Partial Auto correlation function) است و با تاخیر k بصورت نمایش می‌دهند و نمودار و k را Partial correlogram می‌نامند.
با توجه به مطالب ذکر شده مدلهای ا ستوکستیکی عبارتند از
(نمودار در فایل اصلی موجود است)
الف) مدل اتورگرسیو Auto regressive (AR)
این مدل از مدلهای متداول در استوکستیک است از خصوصیات این مدل وابسته بودن مقدار عددی یک متغیر به مقدار عددی متغیر در گذشته است. این مدل برای سریهای زمانی ایستا و نا ایستا بکار برده می‌شود فرم اصلی این مدل به صورت زیر است
(فرمول در فایل اصلی موجود است)
ضرایب اتوگریسوی نامیده می‌شوند at مستقل از زمان بوده و noise نامیده می‌شود.
در مدل فوق در صورتیکه همگرا باشد فرآیند ایستا خواهد بود. معمولا در مدلسازی سری زمانی از مدل اتورگرسیو مرتبه اول یا دوم استفاده می‌شود (p=1,2)
ب) مدل میانگین متحرکت Moving Average (MA)
فرم عمومی‌مدل با مرتبه q بصورت زیر است.
ج) مدل(ARMA) Auto Regressive moving Avarage
از ترکیب کردن مدل اتورگرسیو با مرتبه p و مدل میانگین متحرک با رتبهq به مدلی خواهیم رسید که مدل ARMA با مرتبه (p,q) نامیده می‌شود فرم کلی مدل بصورت زیر است.
د) مدل ARIMA
این مدل حالت خاصی از مدل ARMA است و در سری زمانی هائیکه وابستگی زمانی زیاد است با گرفتن اختلاف بین مقادیر Xt آنرا به شکل منظم در آورده و به این صورت این اختلاف می‌تواند با مرتبه یک یا دو یا d باشد. فرم کلی این مدل بصورت زیر می‌باشد
.
(فرمول و شکل در فایل اصلی موجود است)
3- انجام، تجزیه و تحلیل پروژه:
گام اول - رسم سری زمانی و تعیین مقادیر آماره های نمونه
اولین گام در تجزیه و تحلیل سریهای زمانی، رسم داده ها می‌باشد. با توجه به اطلاعات موجود نمودار سری زمانی دبیهای 50 ساله ترسیم شده است.
شکل 2- ترسیم سری زمانی
مقادیر آماره های توصیفی و هیستو گرام داده ها نیز در شکل زیر آورده شده است
شکل 3- آماره های توصیفی
گام دوم - بررسی وجود مولفه های روند (Trend) و دوره ای Periodic و حذف آنها
همانطور که در قسمت تعاریف آورده شده است در بررسی بعضی از سریهای زمانی دیده می‌شود که فرآیند در طول زمان در یک سطح ثابتی باقی می‌ماند و به علت دلایل و عوامل تصادفی دارای تغییراتی از یک پریود به پریود دیگر است (شکل 1- الف) در حالت دیگری فرآیند دارای (Trend) است. به نحوی که تغییر از یک پریود به پریود بعدی قابل تخصیص به روند و تغییر تصادفی است. روند می‌تواند رو به بالا یا رو به پایین باشد. همچنین اگر سری داده ها در دوره کوتاه مدت نوسانات منظمی‌داشته باشد( شکل 1- ج)
این تغییرات را تغییرات فصلی یا دوره ای (Periodic) گویند. تغییرات فصلی به طور معمول در داده های هفتگی، ماهانه و فصلی بروز می‌کند. قبل از پردازش مدلهای مانا بر سری زمانی باید مولفه های روند و دوره ای بررسی شده و در صورت وجود حذف شود. در این پروژه چون سری سالانه است لذا سری دوره ای نمی‌باشد و با رسم سری دیده می‌شود که دارای روندی به صورت زیر است