تحقیق مقاله استفاده از کنترل کننده‌ های پارامتری برای دست یابی به درجات آزادی مناسب در طراحی کنترل کننده ها

(1-1) مقدمه

طراحی کنترل کننده های مقاوم، یکی از اساسی ترین مسائل در طراحی سیستم های کنترل است. یکی از علایق طراحان سیستم های کنترل این است که کنترل کننده به نوعی طراحی شود که دارای حداقل حساسیت یا به عبارت دیگر بیشترین مقاومت در برابر اختلالات وارده بر سیستم باشد. در این راستا یکی از روش ها استفاده از کنترل کننده‌های پارامتری، به منظور دست یابی به درجات آزادی مناسب در طراحی کنترل کننده ها است. آنگاه این پارامترها به روش های متنوعی به گونه ای محاسبه و جایگزین می شوند که مقاومت مورد انتظار البته با حفظ پایداری سیستم میسر گردد.

در این فصل دو الگوریتم برای محاسبه پاسخ مقاوم در مسأله کنترل کننده های پس خورد حالت خطی چند متغیره ارائه می دهیم در همه حالات ماتریس پس خورد با تخصیص بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژه مورد نیاز به گونه ای محاسبه می گردد که ماتریس بردارهای ویژه نامنفرد، خوش وضع باشند در این روش طیف مقادیر ویژه به گونه ای تخصیص داده می شود که اولاً سیستم کنترل پذیر باشد ثانیاً حساسیت این مقادیر که متناظر حساسیت کنترل کننده است، حداقل باشد. لذا در بخش بعدی مسأله تخصیص مقادیر ویژه به صورت مفصل تعریف می شود. این فصل دارای دو بخش است که در بخش اول یعنی بخش (2-1) مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم برای سیستم های حلقه بسته مطرح می شود در طی فصل با تعریف مقاومت بهینه و بیان معیارهای مقاومت آمادگی لازم را برای ورود به بحث بخش بعدی یعنی بخش (3-1) را مهیا می کند.

در بخش (3-1) کنترل کننده های مقاوم با استفاده از دو الگوریتم پیشنهادی در تخصیص مقاوم مقادیر ویژه طراحی می گردند که در یکی از الگوریتم ها یعنی الگوریتم دوم لازم است که یک مسأله کمترین مربعات خطی حل شود که در این راستا الگوریتم ژنتیک، GA ، یکی از ابزارهای کمک کننده است. و در نهایت با بیان دو مثال کاربردهای این بخش را نمایش می دهیم.

(2-1) تخصیص مقادیر ویژه مقاوم[13]:(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(1-2-1) مسأله پس خورد حالت مقاوم:(فرمول در فایل اصلی موجود است)

سیستم چند متغیر خطی ناوردای زمانی زیر را در نظر بگیرید.

(1)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

به طوری کهu,x بردارهایm,n بعدی هستند و B,A به ترتیب ماتریس های حقیقیهستند بدون کاستن از کلیت مسأله فرض کنید ماتریسB یک ماتریس رتبه کامل باشد. رفتار سیستم (1) با استفاده از مقادیر ویژه سیستمA مدیریت می گردد. اما قاعدتاً هدف آن است که این مقادیر ویژه به گونه ای تخصیص داده شوند که سیستم پایدار باشد در این راستا از یک کنترل کننده مانندk به گونه ای استفاده می‌کنند که،

(2)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

u=Kx

به ماتریسk ماتریس پس خورد حالت یا ماتریس بهره گویند حال با ترکیب روابط (1) و (2) داریم.

(3)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

به ماتریسA+BK ماتریس حلقه بسته سیستم (1)و(2) گویند. لذا مسأله تخصیص مقادیر ویژه پس خورد حالت را به صورت زیر بیان می کنیم.

(2-2-1) بیان مسأله:

ماتریس های حقیقیB,A که به ترتیبهستند و یک مجموعه ازn مقدار حقیقی را در نظر بگیرید ماتریس حقیقیn*K,m را چنان بیابید به طوری که مقادیر ویژهA+BK همان اعداد مجموعهL باشند.

تعریف (1-2-1): سیستم بیان شده توسط معادلات (1)و (2) را کاملاً کنترل پذیر[14] گویند اگر و فقط اگر ماتریس

(4)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

رتبه کامل باشد به عبارت دیگر

(5)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

rank (Q)=n

به عبارت دیگر یک جوابK برای مسأله (2-2-1) وجود دارد اگر و فقط اگر برای هر مجموعه دلخواه L از اعداد مختلط خود مکمل داشته باشیم.

(6)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

در واقع اگر(A,B)  کنترل پذیر نباشد یعنی موجود باشد به طوری که و همچنینSTB=o آنگاه برای هر مقدارK  برقراراست. به عبارت یک مقدار ویژه A+BK به ازای هر Kاست لذا مدیریت در کنترل طراح نیست و به مقدار ویژه  یک مقدار ویژه کنترل ناپذیر گویند.

هدف اصلی ما ارائه روشی برای تخصیص این مقادیر ویژه است به طوری که حداکثر مقاومت یا به عبارت دیگر حداقل حساسیت  را داشته باشد که در این صورت گویند سیستم حلقه بسته مقاوم است و ماتریس پس خورد حالت مربوط به این طیف را ماتریس کنترل کننده مقاوم می نامند.

فرض کنید برایj=1,2,3,...,n  به ترتیب بردارهای ویژه و بردارهای ویژه معکوس ماتریس حلقه بسته متناظر با مقدار ویژهxj از طیفL باشند. به عبارت دیگر،

(7)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اگر یک ماتریس غیر ناقص[15] باشد یعنیn بردار ویژه مستقل خطی داشته باشد آنگاه قطری شدنی است. می توان نشان داد که حساسیت مقدار ویژهدر مقابل اختلالات وارده به مؤلفه هایK,B,A  وابسته به قدر مطلق مولفهj ام بردار عدد شرطیC  یعنیCj است. به طوری که:

(8)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

برای مقادیر ویژه حقیقی حساسیت Sj دقیقاً کسینوس زاویه میان بردارهای ویژه و بردارهای ویژه معکوس متناظر است. به طور دقیق تر اگر یک اختلال با مرتبه ()O در مؤلفه های ماتریس ایجاد شود آنگاه متناظر آن اختلال ایجاد شده در مقدار ویژه از مرتبه  خواهد بود.

اگر ناقص باشد آنگاه خطا حداقل برابر است و لذا اصولاً سیستم های ناقص از مقاومت کمتری نسبت به سیستم های غیر ناقص برخوردارند[16].

یک کران بالا برای حساسیت مقادیر ویژه توسط رابطه زیر داده شده است.

(9)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که در آنk2(x) عدد شرطی ماتریس بردارهای ویژه یعنیx=[x1,x2,...,xn] می باشد. قابل توجه اینکه حداقلCj برابر عدد یک است و این زمانی حاصل می شود که یک ماتریس نرمال باشد یعنی در چنین وضعیتی ستون های ماتریسX  یک پایه متعامد که برایIRn تشکیل می دهند. و لذاk (X)=1 در ادامه مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم را فرموله خواهیم کرد.

(3-2-1) بیان مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم

جفت(A,B) و طیف مقادیر ویژه داده شده اند ماتریس حقیقیK و ماتریس نامنفردX صادق در رابطه

(10)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که در آن ماتریس قطری طیف مقادیر ویژه است را چنان بیابید که یکی از معیارهای مقاومت یا عدد شرطی را بهینه کند.

(4-2-1) بیان مسأله تخصیص ساختارهای[17]  ویژه مقاوم

جفت ماتریس های حقیقی(A,B)  و طیف مقادیر ویژهL داده شده اند هدف ما انتخاب بردارهای ویژه متناظر طیفL صادق در رابطه(10) است به طوری که یکی از معیارهای وضعیت گفته در بخش قبل یا یکی از معادل های آنها که در بخش (6-2-1) گفته خواهد شد حداقل شوند.

به ویژه آنکه هیچ گونه محدودیتی باید روی کنترل پذیری زوج(A,B)  اعمال kشود. سؤال بدیهی و اساسی که ممکن است پرسیده شود آن است که تحت چه شرایطی ماتریس نامنفرد داده شدهX را می توان به عنوان جوابی برای مسأله تخصیص در نظر گرفت. قضیه زیر این مسأله را به خوبی تشریح می کند.

(1-4-2-1) قضیه ماتریس طیف مقادیر ویژه و ماتریس نامنفردX داده شده اند.

آنگاه ماتریس K وجود دارد، یک جواب برای(10)، اگر و فقط اگر

(11)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

به طوری که؛

(12)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

به طوری که یک ماتریس متعامد  وR یک ماتریس نامنفرد است. آنگاهK با رابطه صریح زیر داده می شود.

(13)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اثبات[ 12]

فرض کنیدB یک ماتریس رتبه کامل باشد آنگاه با استفاده از تجزیهQR تجزیه رابطه(12) حاصل خواهد شد لذا با توجه به رابطه (10) خواهیم داشت.

(14)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

لذا با توجه به رابطه (12)

(15)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

لذا

(16)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(17)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

و نتیجه اینکه

(18)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(2-4-2-1) نتیجه: از رابطه (14) صریحاً نتیجه می شود که فضای برد ماتریس   زیر فضای فضای بردQo  است.

(19)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(3-4-2-1) نتیجه: بردار ویژهxj ماتریس حلقه بسته متناظر مقدار ویژه می باید در فضای پوچ ماتریس

(20)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

باشد، که این نتیجه به وضوح از رابطه(17) قابل استنتاج است.

(4-4-2-1) قضیه: یک شرط لازم برای وجود یک جواب غیر ناقص برای مسأله تخصیص ساختار ویژه این است که برای هر مقدار ویژه داشته باشیم. [ ]

(21)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

قابل توجه اینکه شرط (21) برای مقادیر ویژه کنترل پذیر به طور بدیهی برقرار است.

(5-2-1)ویژگی های یک سیستم حلقه بسته مقاوم

هدف مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم، در واقع، انتخاب یک ماتریس غیر ناقص از بردارهای ویژه داده شده؛ ماتریسX صادق در قضیه (1-4-2-1) است به طوری که ماتریسX به خوبی خوش وضع باشد.

با استفاده از قضیه (1-4-2-1) کرانهایی را روی مولفه های ماتریس پس خورد حالتKو پاسخ حالت گذرا یعنیx(t) برای سیستم معرفی شده در روابط (1)و(2) برحسب عدد شرطیk2(x)  و داده های داده شده مسأله معرفی می کنیم. و لذا قضیه زیر را خواهیم داشت.

(1-5-2-1) قضیه: ماتریس پس خورد حالتK و پاسخ حالت گذرایx(t) برای سیستم توصیف شده با معادلات دینامیکی (1)و(2) در نامساوی های زیر صادقند.

(22)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

به طوری که نشان دهندهm-امین مقدار تکین ماتریسB است. همچنین برای سیتسم های پیوسته

(23)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

و برای سیستم های گسسته زمانی

(24)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که در آنهاxo=x(o) حالت اولیه سیستم در لحظهt=0  یاk=0 است.

اثبات[4 ]

از رابطه (13) و خاصیت نامساوی در فرم ها داریم:

(25)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اگر مقدار تکین ماتریسB باشد آنگاه واضح است که

(26)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

به طوری که در آنV بردار ویژه منفرد استB در مقدار تکین است لذا

(27)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

با جایگذاری رابطه (27) در (25) داریم:

(28)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که همان رابطه (22) است.

از طرف دیگر برای پاسخ گذاری سیستم داریم:

(29)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(30)(فرمول در فایل اصلی موجود است)ز

(31)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

و به طور مشابه برای سیستم گسسته زمانی نیز داریم:

(32)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

و این اثبات قضیه را کامل می کند.

(1-5-2-1) قضیه: نشان می دهد که یک تخصیص مناسب نرم ماتریس پس خورد حالتK، پاسخ حالت گذرای سیستم حلقه بسته توصیف شده با روابط (1)و(2) را برای هر شرایط اولیه دلخواه مینیمم می کند.

حال طی یک قضیه حداکثر اختلال مجاز برای سیستم توصیف شده با روابط (1)و(2) را به طوری که پایداری سیستم حفظ شود، بیان می کنیم[18].

(2-5-2-1) قضیه: ماتریس پس خورد حالت تخصیص دهنده طیف مقادیر ویژه پایدارL، را در نظر بگیرید حداکثر اختلال عبارت است وارد شده مجاز به سیستم حلقه بستهA+BK به طوری که برای هر پایدار باقی بماند.

(33)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(34)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

در حالت گسسته زمانی

(35)(فرمول در فایل اصلی موجود است)ز

(36)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اثبات: [1]

اثبات: فرض کنید ، ماتریسn*n زیر را در نظر بگیرید.

(37)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

یک ماتریس نامنفرد است (با فرض نامنفرد بودن). از طرف دیگر بنابر خاصیت نرم:

(38)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

یعنی

(39)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اگر آنگاه ماتریس در طول محورiw ممکن است منفرد باشد بنابراین با شرط پایداری سیستم بایستی رابطه (33) برقرار باشد.

با توجه به رابطه (10) می توان نتیجه گرفت.

(40)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که کران پایین رابطه (34) را نشان می دهد بقیه اثبات در خصوص سیستم گسسته نیز به همین منوال است.

با بررسی قضایای (1-5-2-1)و(2-5-2-1) ملاحظه می شود، اگر عدد شرطی بردار ویژه تخصیص داده شده یعنیk2(x) حداقل شود آنگاه کران پایین حوزه پایداری سیستم حلقه بسته حداکثر خواهد شد. در بخش بعدی کران پایینk2(x) را محاسبه می کنیم و بهینگی مقاومت را شرح می دهیم.

(6-2-1) مقاومت بهینه

در این بخش نتایج کلی روی عدد شرطی یک ماتریس با ستون های انتخاب شده از زیرفضای مشخص را ارائه می دهیم در ادامه یک کران پایین روی عدد شرطی k2(x)می‌یابیم. فرض کنید.

(41)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که در آنxi  ها زیر ماتریس هایnxrj  هستند که در زیر فضاهای برایj=1,2,...,k  قرار دارند و مجموعه همهxj  ها برایj=1,2,...,k  فضایRn را تولید می کند.

به عبارت دیگر

(42)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

حال فرض می کنیمSj یک ماتریسmj*n‌با ستون های متعامدی باشد که فضایLj را تولید می کند لذا می توان نوشت

(43)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که در آنDj یک ماتریسrj*mj است وrank(Dj)=rj. اگر ستون هاxj ها مستقل خطی باشند آنگاه به وضوح می توان رابطه(41) را به صورت زیر بازنویسی کرد.

(44)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

هدف ما برآورد حداقل عدد شرطیk2(x) ، با استفاده از همه انتخاب های ممکنDj در رابطه (44) است.

(1-6-2-1) قضیه: اگرD,S همان ماتریس های موجود در رابطه (44) باشند و همچنین

(45)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

تجزیه مقدار تکینS  باشد و همچنین[19] آنگاه

(46)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اثبات: [12]

(2-6-2-1) قضیه: اگرD,S,X همان ماتریس های تعریف شده در رابطه (44) باشند آنگاه                          

(47)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

اثبات: [11](فرمول در فایل اصلی موجود است)

(7-2-1) معیارهای مقاومت

در این بخش به بررسی ارتباط میان اعداد شرطیCj (یا حساسیت) مقادیر ویژه حلقه بسته که به وسیله رابطه (8) تعریف شد و معیارهای مقاومت مسأله مقدار ویژه که با رابطه (6) بیان شد می پردازیم. در این مسیر از قضایا و نتایج بخش های قبل به خوبی استفاده می کنیم. یادآور می شویم کهk2(x) یک کران بالای است.

به عبارت دیگر

(48)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

در این بخش معیارهای مقاومت دیگری که توسط عباراتی از k2(x) محدود می شوند را معرفی می کنیم و نشان می دهیم هر گاه مسأله(10) کاملاً خوش وضع باشد آنگاه همه این معیارها همزمان حداقل خواهند شد.

به همین منظور و به خاطر پرهیز از پیچیدگی روابط و بدون کاستن از کلیت مسأله فرض می کنیمxj بردار ویژهj- ام بوده و این بردارها نرمال باشند یعنی و بردار ویژه معکوس متناظر آنها را با نمایش می دهیم آنگاه با توجه به خاصیت دوگانی بردار ویژه و بردار ویژه معکوس داریم:

(49)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

آنگاه اعداد شرطی توسط رابطه زیر داده می شود.

(50)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

و ما داریم:

(51)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

که در آن  نمایش نرم فروبینوس است. حال معیار را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

(52)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

از طرف دیگر

(53)

(فرمول در فایل اصلی موجود است)

و با توجه به هم ارزی فرم ها داریم:

(54)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

بنابراین معیارهای از نظر ریاضیات هم ارزند و همه آنها به طور هم زمان، زمانی به حداقل مقدار، مقدار واحد، می رسند کهX یعنی ماتریس بردارهای ویژه یک ماتریس یکانی باشد.

با توجه به رابطه (54) اگر  تقریباً با یک برابر باشد آنگاه داریم:

(55)    (برای  به اندازه دلخواه کوچک)   

و معادل آن

(56)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

             و    

و لذا

(57)(فرمول در فایل اصلی موجود است)

حال با اندکی تلاش بیشتر معیار جدیدی بنام  را معرفی می کنیم:

معیار  زمانی بهینه است که X ، یک ماتریس از بردارهای ویژه نرمال شده، یک ماتریس یکانی باشد. لذا ایده اصلی در انتخاب بردارهای ویژه آن است که هر بردار ویژه Xj حتی الامکان نرمال شده و مجموعه بردارهای ویژه تخصیص داده شده متعامد باشند. برای معیار مقاومت که ما آن را معیار تعامدی[20] می‌نامیم سعی می‌کنیم فاصله میان ماتریس X از بردارهای ویژه و یک ماتریس متعامدیکه  به حداقل برسد و این فاصله را به عنوان معیار جدید لحاظ می کنیم و پس از محاسبه چنین ماترسی مانندX  که فاصله آن تا  حداقل ممکن باشد آنگاه واضح است که، ستونهای  تصویر متعامد ستونهای X هستند.