تحقیق مقاله مقایسه چگالی حالت ها در نیم رسانا های سه ، دو ، یک و صفر بعدی

مقدمه:

2-1 مقایسه چگالی حالت­های نیم­رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی

2-1-1  محاسبه چگالی حالت­ها در نیم­رساناهای حجیم

هر الکترون با بردار موج و اسپین S می­تواند حالت­های ممکن انرژی که با  نشان داده می­شوند را با احتمال بین صفر و یک اشغال کند. چون مطابق اصل طرد پائولی، هر حالت کوانتومی حدّاکثر توسط یک فرمیون اشغال می­گردد. تابع توزیع احتمال متناظر با این، توزیع مشهور فرمی دیراک است:

(فرمول در فایل اصلی موجود است)

(فرمول در فایل اصلی موجود است) 

در صورتی که احتمال اشغال تمامی حالت­های ممکن با هم جمع شوند، به دلیل اینکه در هر حالت حدّاکثر یک الکترون می­تواند وجود داشته باشد، تعداد کلّ ذرّات N در سیستم برابر است با:  

 (2-1) (فرمول در فایل اصلی موجود است)                                                                              

مقدار پتانسیل شیمیائی به گونه­ای است که در هر دما و انرژی، معادله­ی بالا صادق ­باشد. چگالی حالت­ها را می­توان با کاربرد معادله­ی شرودینگر برای الکترون­های غیر اندرکنشی به دست آورد.  

   (معادله در فایل اصلی موجود است)

جواب این معادله برای الکترون­های آزاد در یک شبکه تناوبی به حجم  به صورت زیر است:                         

   (معادله در فایل اصلی موجود است)

با اعمال شرایط تناوبی "بورن ون کارمن[1] "[81]

مقادیر بردارهای موج و ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست می­آید:

(2-2)                                                                                        

   (معادله در فایل اصلی موجود است)

که  مقادیر  را  اختیار می­کنند. از آنجا که بازه­ی بین دو مقدار مجاز بردار موج  برابر است()، در این صورت حجمی از فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای داده(شکل2-1) برابر است با 

    (2-3)        (معادله در فایل اصلی موجود است)          

   (شکل در فایل اصلی موجود است)                                                 

شکل2-1 )نمائی از حجم­های فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای ­داده­اند.

از طرف دیگر می­توان   را به صورت روبرو نوشت:  

با جانشینی  از رابطه 2-3 رابطه­ی زیر به دست می­آید:                              

به دلیل اینکه  با حجم نیم­رسانای حجیم نسبت عکس دارد و برای این نیم­رسانا، تعداد زیادی از حالت­های الکترونی با فواصل خیلی نزدیک به هم در یک حجم کوچک وجود دارند، تبدیل جمع به انتگرال امکان پذیر است.                                                                               

عنصر دیفرانسیلی حجم در فضای سه بعدی برابر  است. با استفاده از رابطه­ی 2-1 و با جایگذاری انتگرال به جای و احتساب اسپین، داریم:

  (2-4  (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                        

می­توان انتگرال­گیری بر روی k را با انتگرال روی انرژی جانشین کرد.

که در آن، چگالی حالت­ها  وارد شده است. مفهوم چگالی حالت­ها برای درک پاسخ نوری در نیم­رساناها حائز اهمیت است و بیان می­کند که بین و چه تعداد حالت قرار گرفته است.

 (2-5)    (معادله در فایل اصلی موجود است)                                              

   (2-6) (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                                                                                                                 

با استفاده از رابطه 2-2 چگالی حالت­ها برای یک نیم­رسانای حجیم به صورت زیر بدست می­آید.

   (2-7)   (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                        

ملاحظه می­شود که چگالی حالت­ها برای نیم­رساناهای سه بعدی حجیم با تناسب دارد.

نیم­رسانای سه بعدی

 (شکل در فایل اصلی موجود است)     

شکل2-2) چگالی حالت­ها برای یک جامد سه بعدی با متناسب است.

2-1-2  محاسبه چگالی حالت­ها در لایه­های نازک نیم­رسانا

با حل معادله شرودینگر برای لایه نازک واقع در صفحه xy، ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست می­آید . همانگونه که دیده می­شود، انرژی ذرّات، در راستای عمود بر لایه کوانتیده است.

     (2-8)  (معادله در فایل اصلی موجود است)                                  

با اعمال شرایط تناوبی در دو بعد، سطحی از فضای وارون که یک نقطه را در خود جای می­دهد برابر است با: 

 (شکل در فایل اصلی موجود است)     

شکل2-3) نمائی از سطوح فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای داده­اند.

به دلیل بزرگ بودن مقدار A و نزدیک بودن حالت­ها در صفحه­ی xy به یکدیگر، تبدیل جمع به انتگرال در صفحه مجاز می­باشد بنابراین می­توان نوشت:

  برای تبدیل به انتگرال در رابطه­ی 2-1 به صورت زیر عمل می­شود(توجّه شود که در اینجا منظور از N تعداد کل الکترون­ها در صفحه و بنابراین n نیز چگالی سطحی الکترون­ها است)   

 (2-9)  (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                                   

با برقراری تساوی، مانند رابطه 2-5 رابطه­های زیر به دست می­آید:

و داریم                                                                                     

با استفاده از رابطه انرژی 2-8 می­توان نوشت:

نیم­رسانای دوبعدی

 (شکل در فایل اصلی موجود است)     

شکل2-4)چگالی حالت­ها در نیم رسانای دوبعدی

چون انرژی کل ذرّه، درون یک چاه پتانسیل نامتناهی که توسط معادله2-8 ارائه شده، با عدد کوانتومی  تغییر می­کند، برای هر مقدار از  یک نوار انرژی سهمی شکل در جهت وجود دارد. در نتیجه ترازهای انرژی در جهت از نوارهای سهموی که از یکدیگر به اندازه  مجزا هستند تشکیل شده­اند. هر یک از این نوارها یک چگالی ثابت ایجاد می­کند. در نتیجه چگالی حالت­های یک ذرّه منفرد در انرژی  مساوی معادله زیر است:                                                               

که در آن تابع پله­ای برای تأکید بر این مطلب است که حالت­ها از شروع می­شوند.

 (شکل در فایل اصلی موجود است)     

شکل2-5)"الف" سهمی­های متناظر با مقادیر مجزا. "ب" چگالی حالت­های ذرّه [32].

2-1-٣ چگالی حالت­ها در نانو سیم­ها

اگر فرض شود که سیم در راستای محور y است، با حل معادله شرودینگر داریم:

که ترازهای انرژی و  کوانتیده­اند. با بهره­گیری از مقدار مجاز k در یک بعد و به دلیل مجاز بودن تبدیل جمع به انتگرال در راستای محور y،  با تکرار مراحل قبلی، نتیجه روبرو حاصل می­شود:

 (معادله در فایل اصلی موجود است)