-1- منابع اصلی خطا
خطاهایی که در مسائل ریاضی با آنها آشنا می‌شویم، عمدتاً می‌توان به 5 گروه تقسیم نمود :
خطاهایی که در نحوه‌ی بیان مسائل وجود دارند. عبارات ریاضی به ندرت تصویر دقیقی از پدیده های طبیعی می‌بایست، به عنوان یک قاعده، شرایطی را قبول کنیم که باعث ساده شدن مسئله گردند. این خود یکی از سرچشمه‌های خطاست. (خطا های مسئله و مدل سازی)
گاهی اوقات حل مسئله‌ای که دقیقاً صورت بندی شده است، بسیار مشکل و یا حتی غیر ممکن باشد. در چنین حالتی یک مسئله تقریبی به جای آن در نظر گرفته می‌شود که تا حدودی همان نتایج را به همراه دارد. این خود باعث خطایی است که به خطای روش موسوم است ولی در رده خطاهای مسئله قرار می‌گیرد.
خطاهایی که از وجود عملیات نامتناهی در آنالیز ریاضی ناشی می‌شوند. توابع به کار رفته در روابط ریاضی، معمولاً به صورت دنباله‌ها یا سری‌های نامتناهی بیان می‌گردند. (مثلاً ) به علاوه، بسیاری از معادلات ریاضی را تنها می‌توان با عملیاتی نامتناهی حل نمود که حد آنها جواب مسئله می‌باشد. به طور کلی، از آن جا که یک فرآیند نامتناهی را نمی‌توان طی مراحل متناهی انجام داد، لازم می‌شود که دنباله‌ی عملیات را در مرحله‌ای قطع کرده به یک جواب تقریبی مسئله مورد نظر اکتفا نماییم. طبیعتاً قطع عملیات در یک مرحله باعث بروز خطا می گردد. این خطا را خطای باقیمانده می‌نامند (خطای قطع کردن)
خطای پارامترهای عددی (مربوط به پارامترهایی که مقادیر آنها را تنها می‌توان به طور تقریبی یافت). به عنوان مثال همه ثابت‌های فیزیکی از این نوع می‌باشند. (مثلاً مقدار ثابت ) این خطا، خطای اولیه نامیده می‌شود.
خطاهای مربوط به دستگاه شمارش. هنگام نمایش اعداد گویا در دستگاه دهدهی و یا هر مبنای دیگری، ممکن است تعداد نامتناهی ارقام در سمت راست نقطه اعشار (ممیز) قرار بگیرند. به عنوان مثال، ممکن است یک عدد اعشاری متناوب داشته باشیم. واضح است که فقط تعدادی متناهی از این ارقام را می‌توانیم در محاسبات به کار گیریم در این صورت خطایی ایجاد می‌شود که به خطای گرد کردن معروف است.
خطاهای مربوط به عملیات با اعداد تقریبی (خطای عملیات). هنگام اجرای محاسبات با اعداد تقریبی طبیعتاً خطاهای مربوط به داده‌های اولیه (تاحدی) به نتیجه نهایی منتهی می‌شوند. از این نظر خطاهای عملیات ذاتی هستند.
4-1- خطا های مطلق و نسبی
فرض کنیم a به مقدار کمی با عدد A تفاوت داشته باشد، در این صورت a را تقریبی برای A می‌نامیم و معمولاً در محاسبات به جای A مورد استفاده قرار می‌دهیم.
اگر a
توجه داریم که A تقریبی برای A است. با خطای صفر، اما آنچه حائز اهمیت است، آن است که علامت e(a) در اکثر موارد معلوم نیست و بهتر است از خطای مطلق عدد تقریبی a استفاده کنیم، یعنی علامت خطا چندان مهم نیست.
E(a) = | e (a) |
تعریف : خطای مطلق یک عدد تقریبی a عبارت است از :
E(a) = | A-a |
که در آن a تقریبی از A است. در صورتی که A معلوم باشد، خطای مطلق a به راحتی قابل محاسبه است و در مواردی که A نامعلوم است به جای خطای مطلق، کران بالایی از آن را که به خطای مطلق حدی معروف است را تعریف می‌کنیم.
تعریف : خطای مطلق حدی یک عدد تقریبی، عددی است که از خطای مطلق آن کوچکتر نباشد، خطای مطلق حدی a را با ea نشان می‌دهیم. بنابراین داریم :
و لذا رابطه زیر را می‌توان نوشت :
با توجه به این رابطه a=ea یک تقریب اضافی برای A و a=ea یک تقریب نقصانی برای A است که به اختصار می‌نویسیم :
مثال
خطای مطلق حدی عدد 14/3 را که به جای به کار می‌رود، تعیین نمایید.
حل : چون پس و بنابراین .
با در نظر گرفتن این که تخمین بهتر را خواهیم داشت.
چون هر عدد ea که در رابطه صدق کند می‌تواند به عنوان خطای حدی مطرح شود، ea را کوچکترین عدد ممکن که در رابطه مزبور صدق می‌کنده در نظر می‌گیرند.
معمولاً پس از اندازه‌گیری‌ها، عدد تقریبی را همراه با خطای مطلق حدی آن می‌نویسند. به عنوان مثال، اگر طول یک پاره خط L=214cm با خطای 0.5cm باشد، می‌نویسیم:
که در اینجا طول دقیق پاره‌خط در فاصله [213.5,214.5] قرار دارد.
خطای مطلق (یا خطای مطلق حدی) برای توصیف دقت یک اندازه‌گیری یا محاسبه کافی نیست. فرض کنید در اندازه‌گیری طول دو میله داشته باشیم:
علیرغم این که خطای مطلق حدی در هر دو مورد با هم برابرند، ولی اندازه‌گیری اول بهتر از اندازه‌گیری دوم می‌باشد. یک مطلب اساسی در دقت اندازه‌گیری خطای مطلق مربوط به طول واحد اندازه‌گیری می‌باشد که آن را خطای نسبی می‌نامیم.
تعریف : ، خطای نسبی یک عدد تقریبی a، برابر است با خطای مطلق a در واحد کمیت یعنی
(معادله در فایل اصلی موجود است)
که در آن a تقریبی از A است.