-مجله ریاضیات ، مارس 1983، جلد 56، شماره 2 صفحات 110-106
-توصیف هندسی مقاله ها جبری یک محرک اصلی برای حساب دیفرانسیل وانتگرال مقدماتی ایجادمی کند.
عناوین حساب دیفرانسیل وانتگرال بوسیله هندسه تحلیلی در بسیاری از متن های مقدمه
وابستگی به شروع های عکس دار در گسترش انتگرال معین و مشقق اشاره می کند.
در حالی که فاکتورهای هندسی ، بسیاری از نمادهای توابع مثلثاتی ومشتق های آنها را کنترل کننده یک راه حل تقریبا جامع برای روشهای جبری را معرفی و مطالعه توابع مثلثاتی معکوس وجود دارد این نتکه نشان می دهد چطور مفاهیم جبری در تعاریف انتگرال معین، مثلثاتی ومشتق های آنها در بحث تطابق توابع معکوس ممکن است ادامه پیدا کند. مرجع در رابطه با این مفاهیم جبری نسبت به توسعه نظریه بیضی و روش الوار(Eluer) در کشف قضیه های ضمیمه جبری را سینوسهای دایره ای هذلولی و lemniscare ایجاد خواهد شد.
حساب دیفرانسیل و انتگرال نمونه در مقابل arcsine بعنوان طول کمان با در نظر گرفتن ]1[ و ] 3[ بعنوان نمونه هایمان، یادآوری می کنیم که در کتاب جدید درسی استاندارد، بعد از آنکه انتگرال معین تعریف شده است . کاربردهایی شامل مساحت بین دو منحنی وفرمول طول کمان می شود از آنجائیکه تکنیک های انتگرال گیری کمی در دسترس می باشد. مشکلات طول کمان به کمان های باریک y=f(x) تا حدی که انتگرال بطور خاصی ساده باشد وگاهگاهی توجیه یک نویسنده برای نبود کاربردهای مناسب پیشنهادی شود.(ببنید ]3[ صفحه 429)
بعد از مقوله توابع مثلثاتی مروری از اندازه گیری رادیان بطوریکه طول کمان از نقطه (0و1) روی دایره واحد اندازه گیری می شود. Cosine , sine یک عدد حقیقی بعنوان مختصات sineو cos یک عدد حقیقی بعنوان مختصات نقطه (x,y) روی دایره واحد رادیان های از (0و1) (شکل 1 را ببنید) سپس خصوصیات sine و cos از تشابهات دایره و دیگر توابع مثلثاتی که در اصطلاح های cosin ,sine تعریف می شود ناشی می شود. مشتق های cosine ,sine بعنوان نتایج 1(sin)/= ایجادمی شود. این حد از طریق برابر گرفتن طول کمان در امتداد لبه دایره واحد با مساحت بخشی که بوسیله کمان ( در شکل 2و 2= مساحت AOB) وسپس قراردادن این مساحت مابین دو ناحیه مثلث شکل برقرار می گردد.
بعد از مطالعه حساب دیفرانسیل وانتگرال توابع مثلثاتی (f(x)) مطابق توابع معکوس ( از طریق معکوس گرافهای که می شود
همچنین ساخت انتخابهای قرادادی برای مقادیر اصلی ]6[ را ببینید صفحات 295-6) وسپس محاسبه از یکتا بودن جستجوی میشود.
شکل 2 شکل 1
(اشکال در فایل اصلی موجود است)
شکل 4 شکل 3
در مقابل استخراج کردن تعاریف وخصوصیات توابع معکوس تابعarcsine در یک روش بیشتر هندسی میتواند بدست آید.از آنجائیکه sin بعنوان مختصات y از نقطه ای روی دایره واحد تعریف شود طول یک کمان بعد از (0و1) یک سوال هندسی برای وارونه کردن این تابع خواهد پرسید
مختصات دوم نقطه داده شده y می باشد طول کمان از کجا می آید؟
دو جواب کوچک برای این سوال وجود دارد. (شکل 3 را ببنید) وسپس هر کدام با ضرب در 2 بیشتر جدا می شوند مقدار اصلی تابع sin معکوس ممکن است بطور طبیعی بعنوان کمترین فاصله از نقطه تعیین شده و(0و1) ومعرفی شود که این عملی خواهد شد و این طول کمان ممکن است طول کمان y نامیده و نوشته شود یا sine معکوس y نامیده و نوشته شود.از علامت برای یادآوری این بحث استفاده خواهیم کرد بنابراین تابع arcsine شامل جایی که میباشد.
از آنجائیکه arcsin(y) یک طول کمان است. فرمول طول کمان می تواند برای از t=y تا t=0 (شکل ها را ببنید) برای فهمیدن اینکه
بکار رود وسپس بوسیله نظریه بنیادی حساب دیفرانسیل وانتگرال به این صورت ادامه پیدا می کند که
از آنجاییکه وهمچنین یک مثال ساده از یک انتگرال نادرست داریم:
(معادله در فایل اصلی موجود است)