انتگرالها یک بحث اساسی ریاضیات عالی را تشکیل داده که میتوان کاربرد آنرا درتمام علوم طبیعی، انسانی وغیره مورد مطالعه قرارداد.
اولین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است.
تعبیر هندسی انتگرال
از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.
نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).
مثال
انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی fx است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
نمایش گرافیکی انتگرال.
انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.
انتگرال گیری
(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.
مسئله های انتگرال
قبل از کوشی ، تعریفی از انتگرال در معنای واقعی واژه "تعریف" وجود نداشت. توجه اشخاص محدود به این بود که مشخص کنند کدام مساحتها را باید جمع یا تفریق کرد تا انتگرال به دست آید.
ولی در نظر کوشی ، تعریف لازم بود زیرا توجه به دقت که مشخصع ریاضیات نوین است با او آغاز شد. کوشی توابع پیوسته و انتگرال این توابع را به روشی شبیه روش امروزی ما تعریف کرد. از نظر او برای رسیدن به انتگرال f(x) کافی بود که مجموع های
(1)########فرمول
را تشکیل دهد که مساحان و ریاضیدانان فرنها برای تقریب زدن مساحت از آن استفاده کرده اند، و از اینم طریق به وسیله گذار را نتیجه بگیرد. اگر چه این گذار ، به وضوح از نظر کسانی که ]نیل به انتگرال را[ با مفهوم مساحت آغاز می کنند. مجاز بود ، اما کوشی می بایست ثابت کند که مجموع S، تحت شرایطی که او در نظر گرفت واقعا به حدی میل می کند هر وقت به جای یک عقیدیه تجربی ، یک تعریف منطقی محض قرار گیرد، الزام مشابهی در کار می آید. باید اضافه شود که در این صورت فایده موضوع تعریف شده ، دیگر آشکار نیست و آن را فقط از بررسی ویژگیهای آن موضوع می توان نتیجه گرفت. این تاوان پیشرفت منطقی است. کاری که کوشی انجام د اد آنقدر قابل توجه هست که معنایی فلسفی داشته باشد. معمولا گفته می شود که دکارت ، هندسه را به جبر فرو کاست.
مدتهای طولانی از توابع ناپیوسته مشخصی انتگرال گرفته می شد. تعریف کوشی هنوز در مورد این انتگرالها به کار می آمد ، اما طبیعی بود که حوزه دقیق این تعریف بررسی شود ، همچنان که ریمان بررسی کرد.
اگر کرانهای پایین و بالای f(x) را بر (xi , xi+1) مشخص کنند ، آنگاه S بین دو مقدار
$$$$$فرمول
قرار می گیرد. ریمان نشان داد برای اینکه تعریف کو شی به کار آید ، کافی است که
$$$$$فرمول
به ازای دنباله مشخصی از افرازهای (a ,b) به بازه های کوچکتر و کوچکتر (xi,xi+1) به سمت صفر میل کند. داربو اضافه کرد که گذار متعارف به حد از s-i,s معمولا دو عدد مشخص
$$$فرمول
را به دست می دهد. این اعداد در حالت کلی متفاوت اند ، و تنها هنگامی برابرند که انتگرال کوشی – ریمان موجود باشد. از دیدگاه منطقی این تعریفها بسیار طبیعی اند. این طور نیست؟ با وجود این می توان گفت که در عمل غیر قابل استفاده هستند. تعریف ریمان به خصوص این عیب را دارد که تنها به ندرت و به مفهومی ، به طور اتفاقی قا بل به کار بردن است.
در و ا قع آشکار است که اگر f(x) پیوسته باشد. افراز کردن (a,b) به بازه های کوچکتر و کوچکتر (xi,xi+1) تفوت f-I,fi را کوچکتر و کوچکتر می سازد و ب ا توجه به ایم فرایند پیوستگی ، واضح است که اگر تنها تعداد معدودی نقطه ناپیوستگی داشته باشیم ، این افراز کردن موجب می شود S--s-به سمت صفر میل می کند. اما دلیل در دست نیست که امیدوار باشیم همین وضعیت قبرای تابعی که همه جا ناپیوسته است ، برقرار باشد. بنابراین در عمل ، کوچکتر و کوچکتر کردن بازه های (xi,xi+1) یعنی در نظر گرف تن مقادیر f(x) به ازای مقادیری از x که به هم نزدیک و نزدیکتر می شوند به هیچ وجه تضمین نمی کند مقادیری از f(x) به دست آید که تفاوتهای آنها کوچکتر و کوچکتر شوند.
برای دستیابی به هدف ، کار را با گرد هم آوردن یا دسته بندی مق ادیری از f(x) که تفاوتی ناچیز دارند ، ادامه می دهم. از این قرار واضح است که باید به جای (a1,b) بازه f-) و (f-
را که به کرانهای پایین و بالای f(x) بر (a,b) محدود است ، افراز کنیم. این عمل را به کمک اعداد yz ای که تفاوتشان به یکدیگر کمتر از εf(x) را در نظر می گیریم که به وسیله رابطه
$$$$$$$$فرمول
تعریف می شوند. مقادیر متناظر x ، مجموعه ای مانند Ei تشکیل می دهند. در وضعیت شکل 2 این مجموعه Ei از چهار بازه تشکیل شده است. در مورد تابع پیوسته مشخصی چون f(x) ممکن است تعداد ی نامتناهی بازه تشکیل شود. وضعیت در مورد تابعی دلخواه ممکن است خیلی پیچیده باشد. اما مساله ای نیست ؛ این مجموعه Ei است که نقش متناظر بازه (r,ri+1) در تعریف انتگرال توابع پیوسته را عهده دار است ، زیرا مقادیری از x را به ما معرفی می کند که به f(x) مقادیری با نفاوت ناچیزمی دهد.
اگر عدد دلخواهی باشد که بین yi+1,yi انتخاب شود:
مقادیر f(x) به ازای نقاط Ei تفاوتی کمتر از با دارند. عدد همان نقشی را به عهده خواهد داشت که f(εi) در (1 ) داشت. به همین ترتیب نقش طول یا اندازه بازه (xi,xi-1) یعنی xi+1-xi را اندازه m(Ei) ، که کمی بعد آن را به مجموعه Ei نسبت خواهیم داد ، به عهده خواهد داشت به این نحو ، مجموع را تشکیل می دهیم. اما نخست بیابید به آنچه تا کنون انجام داده ایم بنگریم و برای فهم بهتر ، آن را با عباراتی دیگر بازگو کنیم.
هندسه دانان قرنه هفدهم ، انتگرال f(x) را واژه "انتگرال" هنوز وضع نشده بود ، اما این زیاد مهم نیست- به عنوان مجموع تعدادی نامتناهی از تقسیم ناپذیر در نظر داشتند ، که هر یک از آنها عر ض f(x) ، مثبت یا منفی ، می باشد. بسیار خوب ! ما فقط تقسیم ناپذیرها را دسته بندی کرده آنهایی را که تقریبا هم اندازه هستند در یک دسته قرار داده ایمن. به عباتر دیگر - همچنان که در جبر می گوییم - دست به گردآوری یا تقلیل عبارات مشابه زده شده است و باز می توان گفت که با روش ریمان ، ریاضیدانان سعی می کردند تقسیم ناپذیرها را با در نر گرفتنشان به ترتیبی که با تغییرات x ، به دست می آمد ، جمع کنند. در این مورد مانند تاجری عمل می کردند که قاعده و اسلوبی در کارش ندارد ، یعنی مانند کسی که سکه ها و اسکناسها را به طور اتفاقی و به ترتیبی که در دستانش قرار می گیرد شمارش می کند . در حالی که ما همچون تاجری با اسلوب عمل می کنیم که می گوید.
من m(E1) یک سنتی به ارزش 1*m(E1) دارم.
من m(E2) پنج سنتی به ارزش 5*m(E2) دارم.
من m(E2) ( ئه سنتی به ارزش 10*m(E3) دارم.
غیره بنابراین من روی هم رفته این قدر پول دارم.
هر دو روش ، بدون شک تاجر را به یک نتیجه خواهد رساند ، چرا که او هر اندازه هم پروتمند باشد ، تنها تعدادی متناهی اسکناس برای شمارش دارد ، اما برای ما که ملزم به جمع مردن به تعدادی متناهی از تقسیم ناپذیرها هستیم ، تفاوت این دو روش جمع کردن ، فاحش است. اکنون توجه خود را به تعریف عدد m(Ei) که به E2 منشوب شد ، معطوف می کنیم. تناظر میان این اندازه و یک طول ، یا همین طور تعداد اسکناسها ، ما را به طور طبیعی به بیان این مطلب سوق می دهد که: در مثال مربوط به شکل ( 2) ، m(E1) مجموع طول چهار بازه ای است که Ei را تشکیل می دهند و همچنین در مثالی که در آن E1 از تعدادی نامتناهی بازه تشکیل شده است. m(Ei) مجموع طول تمامی این بازه ها خواهد بود. این موضوع در حالت کلی ما را در این جهت پیش می برد: Ei را در تعدادی متناهی و یا تعدادی نامتناهی شما را از بازه ها محصور می کنیم ، و فرض می کنیم J2,J1 و... طولهای این بازه ها باشند. یقینا می خواهیم رابطه زیر بر قرار باشد
اگر در جستجوی بزرگترین کران پایین طرف دوم این رابطه برای تمام دستگاههای ممکن از بازه هایی باشیم که می توانند Ei را بپوشانند ، این عدد کرانی بالا برای m(Ei) خواهد بود. به این دلیل آن را با نمایش می دهیم و داریم
(3) $$$$$$$$فرمول
همین طور ، اگر C مجمئوعه نقاطی از (a,b) باشد که در Ei نیستند ، خواهیم داشت.
$$$$$$فرمول
اکنون واضح است که می خواهیم رابطه
$$$$$$$$فرمول
برقرار باشد. بنابراین باید داشته باشیم
(4)$$$$فرمول
حال نابرابریهای (3) و(4) کرانهای بالا و پایین m(Ei) را به دست می دهند. به سادگی می توان مشاهده کرد که این دو نابراری هیچگاه متناقض یکدیگر نیستند. هنگامی که کرانهای پایین و بالای m(E1) برابرند ، m(Ei) تعریف می شود و می گوییم Ei اندازه پذیری است. تابعی چون f(x) که برای آن مجموعه های Ei به ازای تمامی yt ها اندازه پذیرند ، اندازه پذیر نامیده می شود. برای چنینی تابعی رابطه (2( یک مجموع S را معین می کند ، به سادگی می توان ثابت کرد هنگامی که yi انتخابی به گونه ای تغییر می کند که ε به سمت صفر می گراید ، مجموع S به سمت حد مشخصی میل می کند که بنا به تعریف،
$$$$$$$$فرمول
است.
این اولین تعمیم مفهوم انتگرال به بسیاری تعمیمهای دیگر منجر شد. فرض می کنیم مساله انتگرال گیری از تابعه دو متغیره f(x,y) مطرح است. در این صورت دقیقا مانند قبل عمل می کنیم. به آن تابع ، مجموعه های Fi را - که اکنون نقاطی در صفحه اند و از ایمن پس روی خط قرار ندارند- نسبت می دهیم. اکنون باید به این مجموعه ها یک اندازه دو بعدی نسبت دهیم. همان طور که اندازه یک بعدی از طول بازه ها نتیجه می شود ، این اندازه دو بعدی از مساحت مستطیلهای به دست می آید. با این اندازه تعریف شده ، رابطه (2) مجموع S را به دست می دهد که از آن ، انتگرال به وسیله گذار به حد نتیجه می شود.
پس تعریفی که ما در نظر گرفتیم ، بی درنگ به توابع چند متغیره تعمیم می یابد. در اینجا توسیع دیگری مطرح می شود که در مورد توابعی با هر تعداد متغیر صادق است. اما من آن را تنها برای وضعیتی بیان می کنم که انتگرال گیری f(x) بر (a,b) مطرح است.
من گفته ام که این مساله ای است درباره تشکیل مجموع تقسیم ناپذیرها که توسط عرضهای نقاط X ، یعنی y=f(x) مشخص می شوند. اندکی قبل ، این تقسیم ناپذیرها را بر حسب اندازه شان دسته بندی کردیم. اکنون خود را مقید می کنیم که آنها را بر حسب علامتشان دسته بندی کنیم. باید مجموعه دو بعدی Ep ، مرکب از نقاط با عرض م ث بت ، و مجموعه En ، مرکب از نقاط با عرض منفی ، را در نظر بگیریم. در حالت ساده ای که f(x) پیوسته است ، قبل از کوشی ، همچنان که در ابتدا یادآوری کردم ، می نوشتند:
$$$$$$$$$فرمول
این فرمول ها را به این فکر می اندازد که بنویسیم.
$$$$فرمول
Ms نشان دهنده یک اندازه دو بعدی است. این تعریف جدید با تعریف قبلی معادل است ، و ما را به روش شهودی قبل از کوشی باز می گرداند اما تعریف اندازه ، پایه منطقی استواری به آن داده است. بنابراین ما دو روش برای تعریف انتگرال تابعی از یک یا چند متغیر می شناسیم ، بدون آنکه مجبور باشیم توجهی به شکل کم و بیش پیچیده دامنه انتگرال گیری داشته باشیم. زیرا دامنه D تنها به شرح زیر در این امر دخالت دارد: مجموعه های Er در اولین و مجموعه های En,Ep در دومین تعریف ما ، تنها با در نظر گرفتن مقادیری که تابع f در نقاط D می گیرد تشکیل می شوند.