توزیع نرمال، که ممکن است بعضی از خوانندگان، نمودار آن را به عنوان منحنی زنگدیس بشناسند، گاهی با نامهای پیرلاپلاس و کارس گاوس، که در تاریخ پیدایش آن نقش چشمگیر داشته اند، همراه است. گاوس توزیع نرمال را با روش ریاضی به عنوان توزیع احتمال خطای اندازه گیریها به دست آورد و آن را «قانون نرمال خطا ها» نامید.بعداً منجمین، فیزیکدانها، و کمی بعد از آن، کسانی که در بسیاری از رشته ها داده‌ها را گردآوری می کردند، دریافتند که بافت نگارهای این داده ها دارای این خصوصیت مشترک هستند که ارتفاع مستطیلها ابتدا بتدریج به یک مقدار بیشینه صعود می کنند و سپس به طور متقارن کاهش می یابند. هرچه منحنی نرمال تنها منحی نیست که چنین شکلی دارد ولی معلوم شده است که در موارد بسیار زیادی، تقریب قابل قبولی به دست می دهد. زمانی در جریان مراحل اولیه تکامل آمار، چنین احساس می‌شد که داده های مربوط به هر پدیده واقعی باید مطاق با منحنی نرمال زنگدیس باشند و در غیر این صورت می باید نسبت به فرایند جمع آوری داده ها مشکوک بود. از اینجاست که این توزیع به نام توزیع نرمال معروف شده است. لکن بررسی دقیق داده ها در اغلب موارد، نارسایی توزیع نرمال را آشکار ساخته است. لکن بررسی دقیق و در حقیقت، عمومیت توزیع نرمال افسانه ای بیش نیست، و مثالهای توزیع های غیر‌نرمال در هر یک از قلمروهای تحقیقات، فراوان اند. با وجود این، توزیع نرمال نقشی اساسی در آمار بازی می کند، و روشهای استنباطی که از آن به دست می آیند، دارای قلمرو کاربرد وسیعی هستند و ستون فقرات روشهای جاری تجزیه و تحلیل آماری را تشکیل می دهند.
هرچند در اینجا صحبت از اهمیت توزیع نرمال است، ولی بحث ما در واقع به رده وسیعی از توزیعها که دارای چگالی زنگدیس اند، مربوط می شود. هر توزیع نرمال به وسیله مقدار میانگین آن، ، و انحراف معیار آن، ، به طور کامل مشخص می شود؛ این مقادیر در فرمول تابع چگالی احتمال ظاهر می شوند.
توزیع نرمال دارای چگالی زنگدیس زیر است:
که در آن، میانگین و انحراف معیار است.
احتمال فاصله ای که به اندازه
یک انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با
دو انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با
در فرمول تابع چگالی احتمال، مساحت دایره ای است به شعاع واحد، که به طور تقریبی 1416ر3 است و e تقریباً 7183ر2. است فرمول خاص منحنی نرمال برای ما مهم نیست، اما توجه به بعضی از جزئیات آن لازم است. منحنی در اطراف میانگینش که نوک زنگ را مشخص می کند. متقارن است. فاصله ای به اندازه یک انحراف معیار در هر طرف دارای احتمال 683ر0، فاصله از تا دارای احتمال 954ر0، و فاصله از تا دارای احتمال 997ر0 هستند
منحنی هرگز و به ازای هیچ مقدار x به صفر نمی رسد، ولی به خاطر اینکه مساحت سطوح انتهایی خارج از فاصله خیلی کوچک اند، معمولاً نمایش هندسی را در دو سر این فاصله پایان می دهیم.
نمادگذاری
توزیع نرمال با میانگین و انحراف معیار به صورت نشان داده می شود.
با تفسیر پارامترها، می توان در شکل 7-5 دید که تغییر میانگین از به یک مقدار بزرگتر ، صرفاً منحنی زنگدیس را در امتداد محور طولها تا استقرار مرکز جدید در ، منتقل می نماید و تغییری در شکل منحی به وجود نمی آورد.
تغییر مقدار انحراف معیار، منجر به تغییر نقطه بیشینه منحنی و تغییر مقدار مساحت در هر فاصله ثابت حول (شکل 7-6 را ببینید) می شود. اگر فقطتغییر کند، مکان مرکز تغییر نمی کند.
توزیع نرمال خاصی که دارای میانگین صفر و انحراف معیار یک است توزیع نرمال استاندارد نامیده می شود. میانگین و واریانس این توزیع با میانگین و واریانس متغیر استاندارد شده که در بخش 4-4 تعریف شد، تطبیق می کنند. مرسوم است که متغیر نرمال استاندارد را با Z نمایش دهند. منحنی نرمال استاندارد در شکل 7-7 نشان داده شده است.
توزیع نرمال استاندارد، دارای یک منحنی زنگدیس با:
(میانگین)
(انحراف معیار) است. توزیع نرمال استاندارد به صورت (1،0)N نشان داده می شود.
7-2-1-استفاده از جدول نرمال (جدول 4 پیوست)
جدول نرمال استاندارد در پیوست کتاب، مساحت واقع در سمت چپ هر مقدار مشخص Z را ارائه می دهد: