ژوزف لوئی لاگرانژ (1736-1813) از هندسه بیزار بود ولی کشفیات برجسته ای در حساب تغییرات ومکانیک تحلیلی دارد. وی همچنین در تدوین نظریه اعداد و جبر سهم داشت, و به آن جریان فکری که بعدًا توسط گاوس و آبل تقویت گردید, کمک کرد. زندگی ریاضی وی را می توان گسترش طبیعی کارهای هم عصر مسن تر و مهمتر وی یعنی اویلر دانست, که در بسیاری جهات کارهای او را به پیش راند و آنها را پالایش کرد.
لاگرانژ در تورینو از نیاکان مختلط فرانسوی‐ ایتالیایی به دنیا آمد. در دوران کودکی به هنر و ادبیات بیش ازعلوم علاقه داشت. اما هنوز در مدرسه بود که علاقه وی به ریاضی, با خواندن مقاله ای از ادموند هالی در مورد کاربردهای جبر در نورشناسی, شعله ور گردید. وی آنگاه یک دوره مطالعات مستقل را آغاز کرد, وآنچنان بسرعت پیشرفت کرد که در سن ۱۹ سالگی در مدرسه سلطنتی نظام شهر تورینو به سمت استادی منصوب گردید.
آثار لاگرانژ در حساب تغییرات از اولین و مهمترین کارهای اوست. در سال ۱۷۵۵ وی روش ضرایب خود را برای حل مسئله هم پیرامونی به اطلاع اویلر رساند. این مسائل وی در روش ضرایب خود را برای حل مسئله هم پیرامونی به اطلاع اویلر رساند. این مسائل سالها در ذهن اویلر را ببعث مشغول کرده بود, چراکه از حد روشهای نیمه هندسی او فراتر بودند. اویلر بلافاصله پاسخ بسیاری از سؤالاتی را که در اندیشه اش بود دریافت, ولی به لاگرانژ با مهربانی و گذشت قابل ستایش پاسخ گفت, و از انتشار کارخهای خود صرفنظر کرد, چنانکه در نامه به لاگرانژ می نویسد:«از انتشار آنها خودداری کردم تا شما را از هیچ بخشی از افتخاراتی که به مشا تعلق دارد محرم نکرده باشم» ادامه داد, و هم او و هم اویلر آن را در مورد بسیاری از انواع جدید مسائل, بخصوص در مکانیک, به کار بردند.
در سال ۱۷۶۶ هنگامی که اویلر برلین را به قصد سن پترزبورگ ترک می کرد, به فردریک کبیر پیشنهاد کرد که از لاگرانژ برای جانشینی وی دعوت به عمل آید. لاگرانژ این دعوت را پذیرفت و تا هنگام مرگ فردریک در سال ۱۷۸۶ به مدت ۲۰ سال در برلین به سر می برد. در این مدت وی به طور گسترده در جبر و نظریه اعداد کار می کرد, و شاهکار خود, رساله مکانیک تحلیلی ( ۱۷۸۸ ) را, تحریر کرد, و در آن مکانیک عمومی رایکپارچه کرد, و همچنانکه همیلتن از معادلات حرکت لاگرانژ, مختصات تعمیم یافته, و مفهوم انرژی پتانسیل نام برد.
بعد از مرگ فردریک, فضای دربار پروس برای دانشمندان نسبتًا مطبوع شد, از این رو لاگرانژ دعوت لویی شانزدهم را برای عزیمت به پاریس پذیرفت, و در آنجا به وی آپارتمانی در اوور واگذار کردند. لاگرانژ با وجودآن همه نبوغ عظیم, متواضع و بی تعصب بود. و گرچه همنشین اشراف و در واقع خود نیز یکی از آنها بود, درطول ناآرامیهای انقلاب فرانسه مورد احترام و توجه همه احزاب بود. مهم ترین کار وی در این دوران نقش
هدایت کننده و پیشتازش در ایجاد دستگاه متریک در مورد اوزان و مقادیر است.
در ریاضیات, وی سعی کرد تا پایه ای قابل قبول برای فرایندهای اساسی آنالیز عرضه کند, ولی این تلاشها عمدتًا بی ثمر ماند. در اواخر عمر, حس کرد که ریاضیات به بن بست رسیده است و فیزیک, شیمی, زیست شناسی, و دیگر علوم تواناترین مغزهای آینده را به خود جلب خواهند کرد. این بدبینی ممکن بود که از بین رود, اگر وی می توانست ورود گاوس و آیندگانش را به صحنه پیش بینی کند, کسانی که قرن نوزدهم را به غنی ترین مرحله تاریخ طولانی ریاضیات تبدیل کردند.