ریشه دوم و رادیکال
در ریاضیات، ریشه دوم یا جذر یک عدد حقیقی غیرمنفی x به صورت نشان داده می‌شود و نتیجه آن عددی حقیقی غیر منفی است که مجذورش (حاصل عددی که در خودش ضرب شود) برابر x است.
برای مثال، جذر عدد 9 برابر 3 است (به صورت نمایش می‌یابد) زیرا داریم
جذر اغلب در هنگام حل معادله درجه دوم و یا معادله‌های به شکل ax2 + bx + c = 0 استفاده می‌شود، زیرا متغیر x به توان دو رسیده‌است.
طبق قانون بنیادی جبری، دو جواب برای ریشه دوم یک عدد وجود دارد (این دو جواب در ریشه دوم عدد صفر با هم یکی هستند). برای هر عدد حقیقی مثبت دو جواب برای ریشه دوم وجود دارد که این دو جواب عددی هستند که یک بار منفی و یک بار مثبت است (به شکل ).
ریشه دوم اعدادی که مربع کامل نیستند همواره عددی گنگ است، یعنی اعداد را نمی‌توان به صورت کسری از دو عدد صحیح گویا کرد. برای مثال، را نمی‌توان دقیقاً به صورت m/n نوشت، که در آن n و m اعدادی صحیح هستند. در هر حال این عدد اندازه قطر مربعی به ضلع یک است. از مدت‌های گذشته، عدد را عددی گنگ می‌دانستند و آن را به فیثاغورث نسبت می‌دادند.
نماد ریشه دوم () برای اولین بار در قرن شانزدهم استفاده شد. به نظر می‌رسد که این علامت از حرف کوچک r برگرفته شده‌است، که بیانگر واژه لاتین radix به معنای ریشه است.
تابع ریشه دوم، ، تابعی است از مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفی به خودش.
تابع ریشه دوم همواره مقداری منحصربه‌فرد برمی گرداند.
برای به دست آوردن هر دو جواب ریشه دوم، ابتدا اولین جواب را به دست آورید و آن را جواب1 بنامید، سپس آن را از صفر کم کنید تا جواب2 به دست آید (جواب2 = 0 − جواب1).
خواص زیر، مهمترین خواص ریشه دوم هستند که برای هر عدد حقیقی مثبت x و y صحیح هستند:
ریشه دوم تابعی است از اعداد گویا به اعداد جبری. عددی گویا است، اگر و تنها اگر x عددی گویا باشد که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد مربع کامل نشان داد. به طور کلی، عددی گنگ است.
در هندسه، تابع ریشه دوم نگاشتی از سطح یک مربع به طول اضلاعش.
ریشه دوم اعداد منفی و مرکب
رادیکال مرکب
مربع هر عدد منفی یا مثبت، عددی مثبت و مربع صفر همان صفر است. با این حال از هیچ عدد منفی نمی‌توان جذر گرفت. اما در یک سیستم اعداد بزرگ به نام اعداد مرکب، می‌توان از اعداد منفی هم ریشه دوم گرفت. برای این کار باید نوع جدیدی از عدد را با عنوان یکای مجازی تعریف کرد، که برابر با جذر عدد -1 است. این عدد معمولاً به صورت i (گاهی اوقات j) نمایش می‌یابد. از علامت زیر برای نمایش ریشه دوم عدد منفی − x استفاده می‌کنیم:
زیرا:
.
در این صورت آرگومان i می‌تواند هم منفی و هم مثبت باشد. یکی از اشکالات استفاده از اعداد مرکب این نیست که اعداد منفی و مثبت معنی خود را از دست می‌دهند. این هم مشکلی جدید ایجاد می‌کند: ما نمی‌توانیم را به عنوان ریشه دوم مثبت z تعریف کنیم.
برای هر عدد غیر صفر z همواره دو عدد w وجود دارد که در عبارت w2 = z صدق کند. تعریف معمول √z به این صورت است: اگر z = riφ در مختصات قطبی با صدق کند، آن گاه داریم . همانطور که گفته شد، تابع ریشه دوم در همه جب هولومورفیک است به غیر از اعداد حقیقی غیرمثبت (که در این نقاط [پیوسته] هم نیست). سری تیلور برای اعداد مرکب x به طوری که |x| < 1 باشد، وجود دارد.
به گاه عددی به مستطیل شکل باشد، می‌توان از فرمول زیر استفاده نمود:
به یاد داشته باشید که چون تابع ریشه دوم در نقاط مرکب گسسته‌است، نمی‌تواند همواره صحیح باشد. زیرا چندین «مثال نقض» برای آن وجود دارد، مثلاً عبارت زیر نشان می‌دهد که -1 = 1:
سومین مساوی را نمی‌توان اثبات کرد.
اگر چه آن قضیه تنها در -1 نادرست است (در اعداد بزرگ‌تر از آن صحیح است)، √(zw) = ±√(z)√(w) برای ± یعنی + یا - صحیح است. به یاد داشته باشید که √(c2) = ±c، و در نتیجه √(a2b2) = ±ab و √(zw) = ±√(z)√(w) که در آن a = √(z) و b = √(w) است.