تحقیق مقاله اصول کلی جریان یک سیال در طول ریسندگی لیف

فصل اول:

1- اصول کلی جریان یک سیال در طول ریسندگی لیف

1-1- مقدمه

اولین علم مورد نیاز برای توسعه روش های ریسندگی استفاده شده، برای تولید لیف به وسیله بررسی بر روی عنکبوت و کرم ابریشم ارائه شد. این مخلوقات نشان داده اند که مراحل زیر برای استخراج الیاف ممتد نازک موردنیاز می باشند.

1- کسب مایع ریسندگی

2- شکل گیری مایع ریسندگی

3- سخت شدن مایع ریسندگی

به علاوه الیاف تولید شده ای که ما به حالت ریسیده به دست می آوریم. ممکن است این که الیاف تولید شده به طراحی بعدی نیاز داشته باشند. بنابراین آنها باید دارای خصوصیات کافی باشند. در کارخانه الیاف پلیمری، پلیمردر شکل مذاب یا محلول تحت فشار از طریق اجسام موئینه دارای ضخامت های مشخص در دسته 002/0 تا 04/0 سانتی متر و طول هایی برابر با 3 تا 4 برابر ضخامت جریان دارد. مایع از جسم موئینه به صورت یک نخ بیرون می آید و مذاب به سرعت در یک ماشین نخ پیچی جمع می شود. به صورتی که مذاب رنگ شده و در آخر جامد شده و در نهایت به صورت یک لیف نازک که از کاهش تدریجی بخش مقطع عرضی ایجاد می شود که به صورت یک لیف با سطح مقطع متحدالشکل با ضخامت یکسان به دست می آید. اولین مایعات قابل ریسندگی محلولهای نیترات سلولز در یک ترکیب الکل/ حلال اتر بودند و جامد سازی مایع ریسندگی به وسیله تبخیر حلال ایجاد شده است.

دومین روش تولید لیف که توسعه یافت فرآیند ویسکوز بود. که در آن یک محلول سلولز به وسیله انعقاد شیمیایی جامد شده بود. پلی اکریلونیتریل اغلب به وسیله این روش ریسیده شده است.

سومین روش با توسعه یک ماده مذاب – پایدار (نایلون 66) ایجاد شده و جامد سازی مایع ریسندگی به وسیله منجمد کردن آن صورت می گیرد. پلی اتیلن تر فتالات، نایلون 66 و پلی پروپیلن، (منظم) همه به وسیله این روش ریسیده شده اند.

روش های اول، دوم و سوم ارائه شده در بالا همگی روش های خوبی هستند که به صورت روش های خشک ریسی، تر ریسی و ذوب ریسی شناخته شده اند.

ریسندگی مذاب جدیدترین و اقتصادی ترین روش می باشد.

ریسندگی مذاب نیز ساده ترین ریسندگی می باشد و از نظر تکنولوژیکی زیباترین روش تولید الیاف می باشد. جامد سازی نخ مذاب وابسته به انتقال گرما می باشد، در حالی که در خشک ریسی این نیز وابسته به یک راه انتقال توده می باشد و در تر ریسی وابسته به دو راه انتقال توده می باشد. نتیجه این است که نسبت های تولید سریع در ذوب ریسی امکان پذیر شده مذاب نرم می باشد. پایداری گرمایی پلیمر مذاب یک شرط مهم برای ذوب ریسی می باشد. پلیمرهایی که یک نقطه ذوب پایدار را دارا نمی باشند. گاهی اوقات نرم کردن و شکل دادن آنها با یک ماده نرم کننده فرار یا قابل استخراج قبل از ریسندگی، صورت می گیرد. به هر حال، این روش به اندازه روش ریسندگی از محلول ها در سطح وسیعی استفاده نشده است. انتخاب بین خشک ریسی و ترریسی براساس یک تعداد از عواملی که بعداً شرح داده می شود. انجام شده است.

جدول 1-3- الیاف تولید شده به روش ریسندگی متفاوت را نشان می دهد. گرچه پلیمرهای آروماتیک در طبقه تر ریسی ذکر شده اند.

اما آنها به وسیله جت خشک تر ریسی با استفاده از تکنولوژی ریسندگی کریستال مایع تولید شده اند. به طور مشابه گرچه الیاف پلی اتیلن به وسیله ریسندگی مذاب تولید می شوند اما وزن مولکولی فوق العاده بالا و تراکم بالای پلی اتیلن در استفاده از روش ریسندگی – ژل پلی اتیلن به لیفی تبدیل می شود که دارای قدرت ارتجاعی بالایی می باشد.

عملکردهای ریسندگی شرح داده شده در بالا وابسته به جریان مواد مذاب و محلولها بوده که در این قسمت یک بررسی خلاصه راجب جریان مذاب می کنیم.

این به خوبی شناخته شده است که مواد اصلی می توانند در سه حالت توده وجود داشته باشند که این سه حالت عبارتند از: گاز، مایع و جامد. حالت توده یک ماده اصلی بوسیله رابطه بین میانگین انرژی جنبشی و میانگین انرژی اصلی فعل و انفعال بین مولکولهای ماده اصلی تعیین می شود. در گازها، میانگین انرژی جنبشی خیلی بیشتر از میانگین انرژی اصلی فعل و انفعال بین مولکولها می باشد.

از طرف دیگر در جامدات، میانگین انرژی اصلی فعل و انفعال مولکولی خیلی بیشتر از میانگین انرژی جنبشی می باشد. در مایعات، این مقدارها تقریباً برابر هستند.

یک نتیجه این است که حالت مایع یک حالت نظم کمی را نشان می دهد که این برعکس حالت جامد است که بوسیله هم ردیف کوتاه و هم ردیف طولانی order مشخص شده است یا حالت گاز که هیچ order را نشان نمی دهد. این باید تأکید شود که این طبقه بندی مبهم نمی باشد، چرا که یک ماده نظیر قیر می تواند بصورت جامد یا مایع در مقیاسهای زمانی متفاوت عمل کند. در وزن مولکولی پایین مایعات در حالت سکون، یک تغییر پیوسته ذرات کنار هم زمانی وجود دارد که مولکولها از یک موقعیت به موقعیت دیگر جهش کنند. در مایعات پلیمری، ممکن است که تغییر همسایه ها طبق یک نمونه قبول شده در سطح وسیع که بعداً شرح داده خواهد شد، صورت پذیرد. زمانیکه در حالت ساکن، تعداد جهش ها در هر یک مسیر به اندازه تعداد جهش ها در مسیرهای دیگر می باشد، در آنجا یک به عنوان خود انتشاری رخ می دهد. به هر حال، اگر مایع در معرض یک فشار خارجی قرار بگیرد و در آنجا هیچ حرکت ترجیح داده شده ای در مسیر فشار وجود نداشته و ما جریان را بدست می آوریم. این بعنوان یک جریان ویسکوز شناخته شده است. راحتی کار با اینکه کدامیک از مولکولهای ارائه شده همسایه هایشان را تغییر می دهند با یک خاصیت خیلی مهم یک مایع با نام ویسکوزیته آن مرتبط شده است. طبق این نمونه، جریان زمانی امکانپذیر می شود که مولکولها انرژی فعالیت لازم را برای جدا شدن از نیروهای جاذب که آنها را به همسایه هایشان متصل می کنند را بدست می آورند. انرژی فعالیت برای جریان بوسیله Kauzmann و Erying برای یک مجموعه از هیدروکربن های نوع پارافین با طولهای متعدد زنجیره تعیین شده است. در نمودار 1-1، ارزشهای حاصل از انرژی فعالیت در نقطه مقابل تعداد اتم های کربن در زنجیره طراحی شده است و می توان گفت که انرژی فعالیت ابتدا متناسب با تعداد اتمهای کربن افزایش می یابد، اما با افزایش بعدی در طول زنجیره، نسبت افزایش فعالیت آهسته تر شده به یک محدودیت برای یک طول زنجیره حدود 25 اتم کربن نزدیک می شود که وابستگی انرژی فعالیت برای جریان ویسکوز (چسبنده) پارافین به تعداد اتم های کربن در زنجیره را نشان می دهد.

و میتوان گفت که واحدی که در طول جریان حرکت می کند. کل مولکول نیست و یک بخش کوچک زنجیره می باشد. یک مشاهده مشابه بوسیله Flory انجام شده است، او چسبندگی در دما وفشار ثابت یک دسته وسیع polydecame thylene اندازه گیری کرد.

او دریافت که انرژی فعالیت سطوح جریان ویسکوز (چسبنده) برای یک ارزش پایدار قطع شده، اندازه جهش بخشی که بر مانع غلبه می کند. تقریباً برای نمونه های متعدد، یکسان می باشد. اخیراً آنجا توسعه های خاصی در درک پایه مولکولی جریان مایع، ایجاد شده است. تولید همه الیاف ریسیده شده وابسته به جریان مایع می باشد و بنابراین، این مهم است تا ابتدا اصول اساسی در رابطه با جریان مایعات در کانال رشته ساز و سپس در خط ریسندگی را شرح دهیم. در این فصل تلاشهایی انجام شده است تا بصورت خلاصه با این دو جنبه ارتباط داشته باشند. بعلاوه یک بررسی خلاصه از فرضیه های مولکولی جریان و مفهوم قابلیت ریسندگی انجام شده است و عواملی که باعث ناپایداری جریان می شوند بررسی شده است.

2-1- جریان برش (Shear flow)

1-2-1- جریان ویسکوز (چسبنده) و مایعات نیوتنی

پاسخ یک مایع به یک نیروی خارجی بکار رفته می تواند با کمک نمودار1-1 شرح  داده شود که یک حجم مایع شامل شده بین دو طرح موازی که هر کدام از ناحیه   A cm2 و h cm جدا هستند را در نمودار 1-1 نشان می دهد.

(نمودار در فایل اصلی موجود است)

نمودار 1-1- وابستگی انرژی فعالیت برای جریان ویسکوز (چسبنده) پارافین به تعداد اتم های کربن در زنجیر

(شکل در فایل اصلی موجود است)

شکل 1-1- تعیین یک حجم که در معرض یک نیروی لیزری برش قرار گرفته است.

وقتیکه یک نیروی F dyn برای طرح بالاتر بکار رفته است، فشار برش t روی این طرح عمل کرده (F/A dyn cm-2)، باعث می شود که این با یک سرعت معین نسبت به طرح پایین تر حرکت کند. این جریان، جریان آرام نامیده شده است و بصورت یک مجموعه از طرح های اجسام یامواد موازی که روی یکدیگر سر می خورند به تصویر کشیده شده است. زاویه g یک اندازه کشش برش است.

در شکل 2-1، C و D نشان دهنده دو لایه خط جریان، جریان مایع تحت شرایط پایدار می باشند. دو ذره سبک P و Q که به ترتیب در لایه های C و D قرار داده شده اند یک فاصله dy جدا در یک زمان t می باشند بصورتیکه خط اتصال آنها در راست گوشه به موازات خطوط جریان قرار دارد که در طول مسیر y می باشد.

 سرعت جریان مایع به مقدار جزئی در طول دو خط جریان تفاوت دارد، بنابراین که بعد از یک زمان بعدی dt، ذره P به P' می رود در حالیکه Q به Q' می رود. خط اتصال P'Q' در زاویه dy به محور y است که یک اندازه کشش برش است. نسبت برش dy/dt می باشد.

اگر سرعت جریان مایع در طول خط جریان C، u باشد و در طول D، u +(du/dy)dy باشد، جاییکه dy در طول محور y است، سپس در زمان dt، ذره P یک فاصله u را طی می کند در حالی که ذره Q یک فاصله [u+(du/dy)dy]dt را طی می کند. حالا

                               (1-1)

(شکل در فایل اصلی موجود است)

شکل 2-1 جریان لایه های جریان ثابت یک مایع تحت شرایط پایدار

                                                           (2-1)

برای تعدادی از مایعات دربر دارنده جریان چند لایه، نیوتن دریافت که فشار برشی که روی سطوح عمل می کند موازی با مسیر جریان مورد نیاز برای حفظ یک نسبت برش ارائه شده است و متناسب است با نسبت برش.

بنابراین:

  یا  (3-1)                                            

جاییکه h یک پایدار برای یک مایع ارائه شده در یک دما و فشار ارائه شده می باشد.

یک مایعی که برای آن رابطه بالا حفظ می شود «نیوتنی» نامیده شده و h به عنوان عامل مشترک ویسکوزیته یا ویسکوزیته برش شناخته شده است.

این نکته ممکن است ذکر شود که واحد نسبت برش در حالت دو طرفه (S-1) می باشد و این ویسکوزیته Nsm-2 یا Pas در واحدهای SI یا dgnscm-2 در سیستم CGS می باشد. اگر یک نیروی dyn 1 که روی ناحیه cm21 عمل کند و در یک نسبت برش S-11 نتیجه دهد، سپس ویسکوزیته برابر dynscm-21 یا Pas1/0 می باشد.

2-2-1- جریان موئینه (مویرگی)

در کلاهک ریسندگی، ماده مذاب یا محلول باید از طریق یک موئینه در جایی عبور کند تا مایع مذاب حالت یک لیف را بدست آورد.

جریان ثابت فرض شده و فشار روی هر بخش متقاطع ثابت است و جریان شعاعی رخ نمی دهد. در یک مایع که در آن جریان چند لایه است، لایه های مجاور مایع با سرعتهای متفاوت عبور می کنند. لایه ضرورتاً در تماس با دیوار به این سطح و بنابراین از نقطه نظر میکروسکوپی در بقیه قسمتهای مرتبط با سطح جذب شده است. این لایه جذب شده در توازن ساکن می باشد به صورتی مولکولهایی که به صورت ممتد هستند در نتیجه بهم خوردن با سایر مولکولها رفع شده و مولکولهای متفاوت جای خودشان را به دست می آورند.

ساختار نشان داده شده در شکل 3-1 به ما کمک می کند تا یک معادله را برای شرح دادن جریان یک مایع نیوتنی، تراکم ناپذیر و با تراکم r و ویسکوزیته h از طریق یک موئینه با شعاع R و طول L ایجاد کنیم. سرعت مایع در تماس با دیوار ممکن است به صورت صفر باشد و هیچ شیبی را در نظر نگیریم. بررسی های متفاوت نشان می دهد که سرعت توزیع در موئینه (مویرگ) در اطراف محور لوله متقارن می باشد و به صورتی که در شکل 3-1 نشان داده شده است مقدار حداکثر سرعت روی محور قرار دارد می خواهیم سرعت را در فاصله r از محور که برابر V است و نیروهایی که روی این مایع اثر دارند در محدوده این استوانه با شعاع r را بررسی کنیم.

(شکل در فایل اصلی موجود است)

شکل 3-1 ساختار برای استخراج معادله Poiseuille

اگر P فشار به کار رفته باشد، نیروی شتاب که بر روی استوانه مایع به شعاع r عمل می کند Ppr2 می باشد. کشیدگی ویسکوز با نیروی کند کننده ویسکوز روی سطح این استوانه مایع به وسیله بقیه مایع prL2×T است، در جایی r کشش برش می باشد که روی یک لایه مایع در یک فاصله r از محور عمل می کند گسترش یابد. وقتیکه شرایط پایدار هستند، این دو نیرو باید برابر و متضاد باشند: برای مثال:

 یا             (4-1)

شیب تدریجی سرعت یا نسبت برش متناسب است با r(فاصله از محور لوله)  

فشار برش T در عرض موئینه به وسیله T=-Pr/2L ارائه شده است و در دیوارهای موئینه برابر یک می باشد و در محور موئینه صفر می باشد.

در دیوار لوله r=R و سرعت v=0 با تکمیل معادله (4-1) از r=R به r=r، داریم:

 یا  (5-1)                     

برش عمودی مایع پیشرفته یک مخروط است. حجم جریان مایع dQ از طریق لوله در هر ثانیه بدینصورت می شود:

 (6-1)                                                              

(شکل در فایل اصلی موجود است)

شکل 4-1 جریان مایع از طریق یک موئینه: (a) جریان چند لایه، (b) سرعت مخروط

بنابراین کل حجم جریان مایع از طریق لوله در هر ثانیه برابر می شود با:

                            7-1)a(

ما مجدداً اینرا بدینصورت مرتب می کنیم:

                                                                      7-1)b(

معادله (b7-1) به عنوان معادله Poiseuille شناخته شده است. حجم جریان مایع خارج از موئینه در هر ثانیه برابر Q است که از معادله (a7-1) بدست می آید و این  مستقیماً متناسب با فشار به کار رفته می باشد و به چهارمین نیروی شعاع موئینه بستگی دارد. بنابراین شعاع موئینه یک پارامتر خیلی مهم در جریان مایع می باشد. تاکنون عملکرد بر اساس دو فرضیه می باشد: اول اینکه مایع نیوتنی است و دوم اینکه همه انرژی مورد نیاز برای فشار دادن مایع از طریق موئینه، برای غلبه بر کشیدگی ویسکوز یا اصطکاک داخلی یا نیروی سیالیت استفاده شده است. هیچکدام از این فرضیه ها برای پلیمرهای مذاب و محلول های پلیمری که غیر نیوتنی و Viscoelastic می باشند معتبر نمی باشند. بنابراین ضروری است تا این عوامل را در زمان محاسبه ویسکوزیته محاسبه کنیم.

3-2-1- جریانهای غیر نیوتنی

آب، مایعات آلی ساده، سوسپانسیون رقیق و امولسیون و گازها به صورت نیوتنی می باشند. برای آنها، یک طرح نسبت برش dg/dt یا g. در نقطه مقابل فشار برش t یک خط مستقیم است که از مبدأ عبور کرده و جریانی را ایجاد می کند که چند لایه است. بسیاری از مواد مفید برای تولید لیف نظیر پلیمر مذاب و محلولها خصوصیات ساده یک مایع نیوتنی را نشان نمی دهند آنها را میتوان به دو دسته تقسیم کرد که عبارتند از: مایعات وابسته به زمان و مایع مستقل از زمان مایعات مستقل از زمان نظیر مایعات نیوتنی، مایعاتی هستند که در انها نسبت برش، یک تابع فشار برش است. مایعات وابسته به زمان دارای سیستم های خیلی پیچیده تری هستند. خصوصیات سیالیت این دو نوع مایع به صورت خلاصه در اینجا شرح داده شده اند.

a) مایعات مستقل از زمان

منحنی های نسبت برش فشار– برش برای چهار نوع مایع مستقل از زمان در نمودار2-1 نشان داده شده اند. (توجه کنید که فشار برش در محور X و نسبت برش در محور y طراحی شده است.) خط A نشان دهنده عملکرد نشان داده شده بوسیله یک جریان نیوتنی می باشد. در این مورد، این فقط برای ایجاد یک تعیین کننده در یک نسبت مجزای برش ضروری می باشد.

(نمودار در فایل اصلی موجود است)

نمودار2 -1 منحنی های نسبت برش فشار – برش برای طبقه های متفاوت جریانها خط B را نشان می دهد

یک بدنه Bingham ایده آل است که بررسی شده تا یک ساختار داخلی مرتبط شده را داشته باشد که در بالای یک فشار حاصل، Tyمتلاشی شده است. در بالای فشار حاصل، نسبت برش بصورت خطی با فشار برش افزایش می یابد: مثلاً

 (8-1)                                               جاییکه 

ظروف سفال، شکلات، قاشق، کره و بتونه تقریباً در عملکردشان برای بدنه های Bingham ولو اینکه رابطه  بالا ممکن است در بعضی موارد غیر خطی باشد تا حد زیادی با ارزش حاصل پلاستیک کاذب هستند (مثل منحنی C) منحنی C نشان دهنده جریان پلاستیک کاذب است، این از مبدأ شروع شده، در نسبتهای برش پایین خطی می باشد و سپس برای محور فشار محدب می شود کلاً جریان های پلیمری از این نوع می باشند. همانطور که در نموار3-1 نشان داده شده است، ویسکوزیته که به صورت نسبت T/(dy/dt) تعریف شده و ویسکوزیته حقیقی را معین کرده است، برای مدت طولانی پایدار نمی باشد اما زمانی که نسبت برش افزایش یافته است، کاهش می یابد. زمانی که شیب خط OP2 (که برابر با سیالیت می باشد) بیشتر از OP1 است، این n2>n1 را دنبال می کند. یک روش دیگر برآورد ویسکوزیته حقیقی، بدست آوردن شیب محلی طرح  در نسبت برش مورد نیاز می باشد، به هر حال، روش تشکیل دهنده «پلاستیک کاذب» یا «برش شل (رقیق)» نامیده شده است. بسیاری از مواد صنعتی شامل مواد مذاب و محلولهای پلیمر، رزین های طبیعی، لاستیک ها، قیر طبیعی و روغن های سنگین عملکرد پلاستیک کاذب را نشان می دهند. کاهش در ویسکوزیته با یک نسبت افزایش برش بیان می کند که فشارهای مورد نیاز برای تولید نسبتهای بالای جریان به اندازه ای بالا نمی باشند که از اندازه گیریهای ویسکوزیته در نسبتهای برش پایین مورد انتظار است. کاهش در ویسکوزیته، یک مزیت است، برای اینکه این نیازهای نیرو برای مرحله بندی برای یک حد قابل ملاحظه را کاهش می دهد.

(نمودار در فایل اصلی موجود است)

نمودار3-1: برآورد ویسکوزیته یک جریان پلاستیک کاذب

عملکرد برش ژل جریان های پلیمری به کشیدگی وسیع و طبیعت جهت یابی شده زنجیره طولانی مولکولها اختصاص یافته است (شکل 5-1) وقتی که نسبت برش افزایش می یابد، مولکولها تمایل دارند تا ردیف شده و کشیدگی کاهش می یابند. نسبت  از بین رفتن کشیدگی های موجود بیشتر است، اما نسبت تولید کشیدگی های جدید زیاد نیست، بنابراین تعداد کشیدگی ها در یک حجم ارائه شده ای از مواد مقادیر توازن پایینتری در نسبت های برش بالاتر را دارد. در نتیجه، مقاومت اصطکاکی بین لایه های مجاور جریان چند لایه کاهش می یابد. بنابراین جریان یک تأثیر، برش را نمایش داده و ویسکوزیته کاهش می یابد. در نسبتهای برش خیلی بالا، جهت یابی مولکولها کامل و در این ردیف ممکن است عملکرد تقریبی نیوتنی، به همان صورت در ناحیه دارای نسبت برش خیلی پایین ملاحظه شود.

(شکل در فایل اصلی موجود است)

شکل 5-1: شبکه مولکولی کشیده شده

تعدادی از معادلات تجربی برای تشریح جریان های پلاستیک کاذب ارائه شده اند. معادله ای که کاربرد خیلی وسیعی را دارد، معادله قانون نیرو می باشد که به عنوان معادله Ostwald – de Wael نیز شناخته شده است که بدین صورت می باشد.

                                                                                 (9-1)

جایی که k و n پایدار هستند، n کمتر از حالت یکپارچگی برای جریان های پلاستیک کاذب می باشد. گاهی اوقان این رابطه بدینصورت نوشته شده است:

                                                                               (10-1)

                                                             (11-1) 

بنابراین، این انتظار وجود دارد که یک طرح logt در نقطه مقابل logg' باید یک خط مستقیم با شیب مثبت را از نقطه ای که پایدارهای k و n می توانند یافت شوند ارائه کند. برای مذاب های پلیمر، چنین طرح های خطوط مستقیم را در طول چند عدد نسبت برش اما جدا از خطی بودن در نسبتهای بالاتر برش ارائه می کند. برای جریان پلاستیک کاذب، ویسکوزیته حقیقی می تواند بدینصورت نوشته شود:

                                                           (12-1)

گاهی اوقات روش زیر برای حذف K استفاده شده است. اگر happ ویسکوزیته   حقیقی در بعضی از نسبتهای برش  باشد و h'app ویسکوزیته حقیقی در بعضی مرجع های اختیاری نسبت برش  باشد، سپس این بدینصورت دنبال می شود:

                                                    (13-1)

اگر   برابر با 1 s-1 قرار داده شود، معادله (13-1)پس از ساده شدن بدینصورت نوشته می شود.

                                                         (14-1)

جاییکه h'app ویکسوزیته تقریبی در یک نسبت برش 1s-1 است.

طبقه بعدی جریان، جریان منبسط شونده است که به وسیله منحنی D در نمودار2-1 نشان داده شده است. و به وسیله یک منحنی که از راه مبدأ عبور می کند مشخص شده است؛ و در نسبتهای برش پایین تر خطی باقی مانده، و سپس یک افزایش غیر خطی را نشان می دهد و برای محور فشار مقعر می شود. مواد منبسط شونده (گشاد شونده) یک افزایش را در ویسکوزیته حقیقی با یک افزایش در نسبت برش نشان می دهند. این نوع عملکرد آنها را هدایت می کند تا به صورت جریانهای «برش ضخیم» مطرح شوند.

چنین عملکردی در حالت آویزش جوهرهای چاپ ملاحظه شده است.

معادله قانون نیرو ، با n>1 معادله ای است که برای نشان دادن عمل منبسط شدن بیشترین مقدار استفاده را دارد.

b) جریان های وابسته به زمان

وقتی که فشار برش در حالت نیوتنی تغییر می کند، مایعات منبسط شونده یا پلاستیک کاذب به همان صورت در جریان های Bingham بالای محدودیت جریان بوده، نسبت برش مربوطه یا ویسکوزیته مربوطه تقریباً به صورت همزمان ایجاد می شود. در بعضی از مایعات ویسکوزیته به زمان بستگی دارد. اگر در یک فشار برش پایدار یا نسبت برش پایدار، ویسکوزیته موقعی که زمان افزایش می یابد، پایین بیاید، مایع thixotropic یعنی تغییر سیالیت با زمان نامیده می شود. اگر ویسکوزیته حقیقی با زمان افزایش یابد، مایع rheopectic نامیده می شود. تغییر سیالیت با زمان (Thixotropy) به صورت ساختار چسبنده موردنظر با توجه به زمان معنی شده است.  

اکثر مطالعات رسمی درباره عملکرد وابسته به زمان با تأثیرات قابل برگشت مرتبط شده اند یک جریان thixotropic خودش در صورتیکه اجازه داشته باشد تا استراحت کند می تواند بعد ازگذشتن مدت زمانی دوباره مورد استفاده قرار بگیرد، رنگها کرم های ریش تراشی، مارگارین، جوهر چاپ و غیره نمونه هایی از مواد thixotropic هستند. مواد rheopectic عملکرد وابسته به زمان را در مسیر متضاد نشان می دهند.