تحقیق مقاله اصول کلی درباره ی مدول ها

تعریف: گیریم  یک گروه آبلی جمعی باشد، آنگاه یک -مدول چپ نامیده می شود اگر:

به ازای هر عضو  از و هر عضو از ، ضرب که متعلق است به  تعریف شده باشد بطوریکه در اصول زیر صدق کند.

البته در بالا

نکته:   مدول راست مشابها تعریف می شود.

تعریف: فرض کنیم     نگاشتی از    مدول    بتوی   - مدول    باشد. گوئیم    یک     خطی یا یک    همریختی است. اگر

بطوریکه

تعریف: گیریم    یک   -مدول چپ و        باشد. مکن است اتفاق بیفتد که وقتی آنگاه عضو   هستند. در اینصورت گوئیم    زیر مدول   است.( یا می گوئیم توسیع   است.)

تذکر

الف- اگر زیر مدول باشد، ا«گاه نگاشت شمول   ، یک  -همریختی است.

ب- اگر  زیر مدول  باشد، آنگاه نگاشت طبیعی    ،یک  –همریختی است.

ج- اگر دو  - همریختی باشند، آنگاه ترکیب آنها      یک  - همریختی است.

د- گیریم     دو   همریختی از    بتوی   باشد و برای هر     ،اگر    آنگاه    ، در اینصورت    نگاشتی از    بتوی  است و می توان به سادگی تحقیق کرد که   یک    - همریختی است.

 این همریختی خاص،   نوشته شد و با استفاده از این نمایش، ما(جمعی) برای همریختی های از    بتوی  تعریف کردیم. با این جمع، مجموعه   همریختی های از    به   تشکیل یک گروه آبلی می دهند که با   نشان می دهیم. البته اگر  جابجایی باشد سادگی می توان نشان داد که  یک - مدول هم است.(چرا؟)

(ه) فرض کنیم        همریختی، باشند  و فرض کنیم  همریختی باشند  .آنگاه

اگر   حلقه جابجایی باشد آنگاه    که در آن  عضوی دلخواه از است

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است )

تعریف: الف- اگر   هر گاه    آنگاه     را تکریختی (منومور فیسم) گویند.

          ب- اگر   را بتوی   بنگارد، آنگاه  را اپی مور فیسم گویند.

         ج- اگر  هم تکریختی، هم برو ریختی(اپی مور فیسم) باشد گوئیم  ایزومور فیسم(یکریختی) است و می نویسیم

در این حالت نگاشت معکوس،   ایزومور فیسم    است و   ایزومور فیسم های معکوسی نامیده می شوند.

تذکر:   همریختی های       ، ایزومور فیسم های معکوسی هستند اگر و تنها اگر    هر دو نگاشت های همانی باشند.

منظور از زوج     یک  - مدول   همراه با زیر مدولش   است و منظور از      - مدول   است بطوریکه     که در آن   تصویر   است.

فرض کنیم    و زیر مجموعه وابسته  باشد. آنگاه   ولذا

با این مقدمه می توان نگاشت      را تعریف کرد که به سادگی ثابت می شود که یک   همریختی است. نگاشت   نگاشت القایی نامیده می شود.

نگاشت القایی، این خاصیت مشخص می شود که دیاگرام زیر را جابجایی می کند:

و نگاشتهای قائم، نگاشتهای طبیعی اند.

توجه داشته باشید که اگر   اپی مور فیسم باشد، آنگاه    تیراپی مور فیسم است.

در اینجا لازم است توضیحی مختصر در مورد جابجایی بودن یک دیاگرام بدهیم.

الف) دیاگرام مربعی                      جابجایی است اگر   

ب) دیاگرام مثلثی     جابجایی است اگر  

ج) دیاگرام       جابجایی است اگر   

حال به مطلب مربوط به نگاشت القایی بر می گردیم. فرض کنیم     یک همریختی باشد که زیر مدول   از    را به عضو صفر از    می نگارد و لذا    

د این حالت، نگاشت القایی     را به توبی   می نگارد و   با این واقعیت مشخص می شود که دیاگرام زیر جابجایی است.

حال فرض کنیم که    همریختی هایی از    بتوبی  باشند،    همریختی از    بتوبی    باشد. آنگاه

بعلاوه وقتی  یک حلقه جابجایی است و   آنگاه

تصویر و هسته:

گیریم    یک   - همریختی باشد. اگر بنویسیم   آنگاه که تصویر نامیده می شود، شامل تمام اعضایی به شکل   است که   و همچنین   که هسته نامیده می شود. از اعضایی تشکیل شده که به صفر نگاشته می شوند. بطور خلاصه داریم:

حال می خواهیم دو نماد جدید معرفی کنیم:  

یادآوری می کنیم که   یک تکریختی است اگر و تنها اگر یک اپی مور فیسم است اگر و لذا  یک ایزومورفیسم است اگر تنها اگر  

قضیه1: فرض کنیم    یک اپی مور فیسم باشد. آنگاه نگاشت القایی     نیز ایزومورفیسم است.

برهان:

چون  یک اپی مور فیسم است لذا  نیز اپی مور فیسم است. بنابراین کافیست نشان دهیم      منومور فیسم( تکریختی) است. یعنی اینکه

فرض کنیم   و گیریم  

اگر   آنگاه     یعنی    لذا 

 در نتیجه بنابراین   و قضیه ثابت می شود.

چون    یک اپی مور فیسم است.( با هسته ی    ). قضیه نشان می دهد که یک ایزومور فیسم مانند  وجود دارد.

به همین دلیل   اغلب ظاهر نمی شود هر چند در مواقع خاص این در مفهوم و نقشهای متفاوتی بازی می کنند.

مدولهای تولید شده توسط زیر مجموعه ها

فرض کنیم  یک   -مدول و   خانواده ای از اعضای   باشد. سیستم  از پارامتر های دلخواه است. زیر مجموعه ای از  شامل تمام اعضایی که بفرم     (  و تقریبا برای تمام  ها) می توانند نوشته شوند. تشکیل یک زیر مدول از باشد، گوئیم    مولدهای هستند.

فرض کنیم   مولدهای  باشند اگر برای هر       بصورت منحصر بفرد معین شود. آنگاه   پایه ی هستند. مدولی که دارای پایه ای باشد، مدول آزاد نامیده می شود.

فرض کنیم یک  -مدول آزاد با پایه ی    باشد و فرض کنیم  یک – مدول باشد و خانواده ای از اعضای  با همان اندیس  باشند. آنگاه همواره یک  - همریختی یکتا مانند    وجود دارد که      واضح است که   بصورت   تعریف می شود. فرض کنیم   خانواده ای از نمادها باشد، مجموعه تمام جمعهای صوری،     در نظر می گیریم که هر عضو  است و تقریبا برای همه ی  ها  برای این جمع صوری به راحتی می توان جمع و ضرب تعریف کرد. اگر این کار را انجام دهیم، نتیجه آن یک   - مدول خواهد بود. حال   را با جمع صوری   برای در نظر می گیریم که در آن

هر عضو مدول نمایشی منحصر بفرد به شکل    دارد. بنابراین مدول، آزاد است و   پایه آن است. این مدول ، مدول آزاد تولید شده توسط نمادهای نامیده می شود.

قضیه2: برای هر  - مدول مفروض   ، مدول آزاد    و اپی مور فیسم    وجود دارد. اگر توسط  عضو   تولید شود. آنگاه  می تواند با پایه ای از   عضو انتخاب شود.

برهان

گیریم   یک سیستم از مولدهای  باشد و سیستم اندیس دار منشاء به نمادهای متمایز باشد. فرض کنیم  مدول آزاد تولید شده توسط بوده و   یک   همریختی باشد که  آنگاه  دارای خاصیتی است که مورد نیاز تکمیل اثبات قضیه است.

قضیه3: فرض کنید  یک   مدول آزاد،    یک   همریختی و    یک اپی مور فیسم از   همریختی باشند. آنگاه   همریختی    وجود دارد بطوریکه دیاگرام زیر جابجایی باشد.

برهان

فرض کنید  پایه ای برای باشد، آنگاه عضوی از  است.( به زاری هر ) چون   یک اپی مور فیسم است سپس عضو از   چون   وجود دارد که     چون  آزاد است. بنابراین یک   همریختی   وجود دارد بطوریکه    و بنابراین

و در نتیجه   روی پایه ی  با هم برابرند و در نتیجه روی تمام اعضای با هم برابرند. یعنی   

حاصلضرب مستقیم و حاصلجمع مستقیم

مفهوم حاصلجمع مستقیم مدولها و حاصلضرب مدولها که در اینجا بحث خواهیم کرد. برای نظریه مان مهم و اساسی است. فرض کنیم   خانواده ی از   مدولهای باشد که در آن اندیس  دلخواه است. خانواده ی  که به ازای هر    متعلق  به   است را در نظر می گیریم و جمع و ضربی از اعضای  تعریف می کنیم. با این جمع و ضرب، یک  مدول تولید می شود که با  نمایش می دهیم و ضرب مستقیم از مدولهای  می نامیم.

از این ضرب مستقیم  می توانیم زیر مدولی شامل تمام خانواده های که  ( به ازای تقریبا همه ی ها) انتخاب کنیم. این زیر مدول را با  نشان داده و جمع مستقیم خارجی مدولها می نامیم.

اگر  متناهی باشد آنگاه ضرب مستقیم و جمع مستقیم خارجی با هم برابرند.

خصوصیت اصلی ارتباط بین  ها و حاصلضرب مستقیم آنها را می توان با تعریف    همریختی های کانونی بصورت زیر نشان داد.

که در اینجا چه نگاشتی از عضو  بتوبی عضوی از   است که در آن مولفه ی فرام برابر  و سایر مولفه ها صفرند. همچنین   نگاشتی از عضوی از   بتوبی مولفه ی فرام آن است. این نگاشتها دارای ویژگی زیر هستند.

برای حاصلجمع مستقیم ، نگاشتهای کانونی مشابهی داریم:

که دارای ویژگی های زیر هستند:

در حالت کلی فرض کنیم که  خانواده ای از  مدولها باشد. خانواده ی   از   همریختی را که   است را در نظر بگیریم. این  -همریختی ها،  همریختی    را تعریف می کنند که عضو  از به توبی    نگاشته می شوند. اگر همریختی  یک ایزومور فیسم باشد. آنگاه گوئیم   یک نمایش انژکتیو از   بعنوان یک حاصلجمع مستقیم از  مدولها ست. در این صورت  همریختی هایی منحصر بفرد مانند  وجود دارند بطوریکه:

در واقع اگر    انگاه نگاشت   را به   می برد.

بنابراین می خواهیم گفت   یک نمایش کامل از بعنوان جمع مستقیم است. برای نمایش کامل داریم:

فرض کنید  خانواده ای از مدولهای بوده و  خانواده ای از همریختی ها باشد که    این خانواده از همریختی ها،   همریختی   را معین می کند که عضو   به   نگاشته می شود. اگر  همریختی یک ایزومورفیسم باشد، گوئیم     یک نمایش پروژکتیو از   بعنوان ضرب مستقیم است. در این حالت همریختی های    وجود دارند که:

گوئیم   یک نمایش کامل از بعنوان ضرب مستقیم از مدولهاست.

حال فرض کنیم یک مدول و   خانواده ای از زیر مدولها باشد. اگر هر  درای نمایش یکتایی به فرم   باشد، که  و به ازی تقریبا همه  ها آنگاه گوئیم  حاصلجمع متقسیم داخلی زیر مدولهای  است. بنابراین یکریختی کانونی   بین  و حاصلجمع مستقیم خارجی وجود دارد که به نگاشته می شود. همچنین  همریختی های    را داریم که همان ویژگیهای بیان شده فوق را دارند یعنی:

و در اینجا نگاشت اولی نگاشت شمول و نگاشت درس یک عضو از  را به جمله ی فرام از نمایش آن بعنوان جمع  می برد.

قضیه4: فرض کنیم  یک سیستم از مدولها و همریختی ها باشد که در روابط زیر صدق کند:

آنگاه  یک نمایش کامل را از  بعنوان جمع مستقیم است اگر و تنها اگر به ازای هر اگر متناهی باشد، آنگاه  شرط لازم و کافی برای این است که  نمایش کامل از بعنوان ضرب مستقیم است.

برهان

فرض کنیمکه به ازار هر برقرار باشد و همریختی  را که را به می نگارد در نظر می گیریم. ما می خواهیم نشان دهیم که این نگاشت ایزومورفیسم است.

 ابتدا توجه می کنیم که اگر   انگاه  و این نشان می دهد که  یک تکریختی است. حال کافی است نشان دهیم پوشاست. فرض کنیم آنگاه و بویژه به ازای تقریبا هر    بنابراین به ازای تقریبا هر داریم . در نتیجه حال چون لذا تصویر آن در برابر است با  لذا  اپی مور فیسم است. در نتیجه   یکریختی است. در نتیجه نشان دادیم که نمایش جمع مستقیم است. این واقعیت که وقتی  یک نمایش جمع مستقیم است، آنگاه  برقرار است. قبلا ثابت شده است.

حال فرض می کنیم که متناهی، باشد فرض کنیم که  عضوی دلخواه از باشد ، آنگاه تصویر  در نگاشت   است که توسط  مشخص و تعریف می شود.  بنابراین در هر حالت   یک اپی مور فیسم است که می توان گفت که یک نمایش حاصلضرب مستقیم است. بنابراین چون      لذا می بینیم  که اعضایی از هستند که دارای تصویر برابری در هستند. در نتیجه که نشان می دهد حکم ثابت شده است. در نهایت، فرض کنیم  برای تکمیل اثبات، کافی است ثابت کنیم که    تکریختی است. که می توان گفت باید نشان دهیم اگر به ازای هر  آنگاه  و این بدیهی است زیرا 

تعریف: فرض کنیم  زیر مدولی از   مدول  باشد اگر   حاصلضرب  مستقیم داخلی دو زیر مدول باشد.    که یکی از آنها  است. آنگاه می گویئم  جمعوند مستقیم است.

تعریف: یک تکریختی   مستقیم، نامیده می شود اگر   جمعوند مستقیم باشد. اپی مورفیسم  مستقیم نامیده می شود اگر  جمعوند مستقیم باشد. در این حالت می گوئیم   فاکتور( عامل) مستقیم  است.