خلاصه‌ی مطالب
برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم که بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراین‌جا خلاصه‌ای از مطالبی که مطالعه خواهید کرد آورده شده است.
دریک حلقه ی جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند که درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است که اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده می‌شود که وقتی R آرتینی می‌باشد اجتماع مرکز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی که مرکز گراف مشخص شده باشد می توان قطر را تعیین کرد و نشان داده می‌شود که اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مرکز آن است. زمانی که R آرتینی باشد با به کاربردن عناصری از مرکز می‌توان یک مجموعه‌ی غالب از ساخت و نشان داده می شود که برای حلقه‌ی متناهی ، که F میدان متناهی است، عدد غالب مساوی با تعداد ایده آل های ماکسیمال مجزای R است. و هم‌چنین نتایج دیگری روی ساختارهای بیان می‌شود.
واژه های کلیدی
مجموعه های مرکزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر
فصل اول
1-مقدمه
حلقه‌ی جابجایی و یکدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با نشان داده می شود. این تعریف از ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بیان شد که تعداد زیادی از ویژگی های اساسی مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بیان شد که همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.
و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ارائه دادند. این ساختار های گرافیکی به شکل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، که در ادامه به آن می پردازیم.
درطول این پژوهش برآنیم که نتایجی را روی حلقه های یکدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممکن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های کاربردی از مرکزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود که شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه نوتری و جابجایی و یکدار 0، 1، 2 می‌باشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مرکزی (مرکز، میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یکدار به کاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از را بیان می کنیم که از جمله‌ی آن ها قطر و کران ها روی تعداد یال های گراف می‌باشد.
2-پیش نیازها
بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است که آن را باید پیش نیاز نامید:
تعریف 1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر می باشد به طوری که xy=0 به عبارت دیگر
تعریف 2.2.1عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یک مقسوم علیه صفر (zero dirisor) گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری که xy=0.
مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم که به صورت زیر می‌باشد:
تعریف 3.2.1عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه موجود باشد به طوری که xn=0.
تذکر: بدیهی است که هر عنصر پوچ توان یک مقسوم علیه صفر حلقه می‌باشد.
تعریف 4.2.1 پوچ رادیکال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد که به صورت nill (R) نمایش داده می شود.
تعریف 5.2.1اشتراک همه‌ی ایده آل های ماکسیمال حلقه‌ی R را رادیکال جیکوبسن R (Jacobson) می نامیم و با J(R) نمایش می دهیم.
تعریف 6.2.1 حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.
اکنون مروری داریم بر بعضی از تعریفات و نمادهای نظریه گراف:
تعریف 7.2.1گرافی مانند G=(V,E) ساختاری است مرکب از یک مجموعه‌ی متناهی مانند V از رئوس (گره ها) که با نماد V(G) نشان داده می شود و یک زیر مجموعه از زیر مجموعه های دو عنصری V مانند E از یال ها، و دو رأس از V مانند w,v مجاورند اگر یالی مانند e از E آن دو را به هم وصل کند. یالی که رأسی را به خودش وصل کند طوقه نام دارد.
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
تعریف 8.2.1گراف G که بین دو رأس آن بیش از یک یال وجود داشته باشد را گراف چندگانه می نامیم.
تعریف 9.2.1گراف G را ساده می نامند هرگاه طوقه و یال چندگانه نداشته باشد.
تعریف 10.2.1 دو رأس را مجاور گویند هرگاه کمانی از یکی به سوی دیگری وجود داشته باشد.
تعریف 11.2.1 گراف Gرا همبند گویند هرگاه بین هر جفت از رئوس آن مسیری وجود داشته باشد.
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
گراف کامل 5-رأسی (k5)
تعریف 12.2.1گراف ساده‌ی n رأس را گراف کامل می نامند هرگاه هر رأس آن با همه رئوس دیگر مجاور باشد. یک گراف کامل n رأسی را با kn نمایش می دهیم.
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
تعریف 13.2.1 گراف G را گراف دو بخشی کامل می نامیم هرگاه: اگر مجموعه‌ی رأس ها اجتماعی از دو مجموعه‌ی مجزای B,A باشد، هر عضو از A با هر عضو از B مجاور باشد ولی هیچ دو عضو از A و هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند، گراف دو بخشی کامل را با kn,m نمایش می دهیم که درآن به طور مثال اگر:
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
گراف دو بخشی کامل k4,4
تعریف 14.2.1گراف ستاره درختی است که یک رأس مجاور با همه‌ی رئوس دارد. گراف دو بخشی کامل k1,m یک گراف ستاره می باشد که در آن و که هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند.
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
به طور مثال اگر:
V={1,a,b,c,d}
A={1}
B={a,b,c,d}
تعریف 15.2.1 گرافی مانند( را زیر گراف G=(V,E) می نامند اگر زیر مجموعه‌ی V و زیر مجموعه‌ای از E باشد. اگر W زیر مجموعه ای دلخواه از V باشد زیر گراف القایی G به وسیله‌ی W عبارت است از گراف H=(W,F) که در آن F یالی در f است هرگاه f={v,u} یالی در E باشد و هر دوی v,u در W باشند.
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
تعریف 16.2.1 درجه هر رأس x درگراف G که با نماد deg(x) نشان داده می شود تعداد رأس هایی از گراف G است که با X مجاورند به عبارت دیگر تعداد یالهای گذرنده از هر رأس را درجه آن رأس می‌نامیم.
تعریف 17.2.1 طول کوتاه ترین مسیر در گراف G که از x آغاز و به y ختم می شود را فاصله‌ی دو رأس x و y می نامیم و با نماد d(x, y) نمایش می دهیم.
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
بعد از آشنایی با مباحث فوق به موضوع اصلی یعنی گراف های مقسوم علیه صفر می‌پردازیم. تعاریف ذیل از گراف های مقسوم علیه صفر حاصل تلاش اساتید بزرگی است که جای تعمق و تأمل بسیار دارد:
نخستین تعریف از گراف مقسوم علیه صفر، ، توسط Anderson living ston (1999) بیان شد:
فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار باشد و Z(R) مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه R باشد. یک گراف ساده از حلقه R که رأس های آن
Z*(R)= Z(R)-{0} (مجموعه‌ی مقسوم علیه های غیرصفر ازحلقه‌ی R باشند و دو رأس مجزای مجاور باشند اگر و تنها اگر xy=0، می توان ساخت.
ایده‌ی اصلی در مورد گراف های مقسوم علیه صفر توسط Beck (1988) بیان شده بود که البته موضوع مورد علاقه وی رنگ آمیزی گراف ها بود. Naseer وAnderson درسال 1993 این چنین بیان کردند: اگر R یک حلقه‌ی جابجایی ویکدار باشد R به یک گراف ساده که رأس های آن عناصر حلقه‌ی R می باشند، نظیر می‌شود.
مثال: 18.2.1 با توجه به تعاریف اولیه‌ی گراف های مقسوم علیه صفر، گراف حلقه‌های به صورت زیر می باشد:
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
که درآنها تمامی عناصر حلقه به عنوان رئوس گراف در نظر گرفته می‌شوند.
تعریف بعدی توسط F.R.De Meye and T.M chenzie and k.schneider (2002) ارائه شد که درزیر بیان شده است:
یک گراف غیرجهت دار به هر نیم گروه S صفردار جابجایی چندگانه متناظر می‌شود. رئوس گراف بوسیله مقسوم علیه های غیرصفر از S نام گذاری می‌شوند و دو رأس x و y به وسیله یک یال به یکدیگر متصل می شوند هرگاه xy در S مساوی صفر شود. (xy=0).
تعریفی که Beck بیان کرد این چنین بود: برای هر حلقه جابجایی R گراف مقسوم علیه صفر G(R) را می توان گرافی در نظر گرفت که رئوس آن مقسوم علیه های صفر R (شامل 0) می باشند با دو رأس b,a که مجاورند هرگاه ab=0. مشکل Beck درمورد رنگ آمیزی گراف ها بود که هیچ دو راسی که دریک گراف مجاورند هم رنگ نباشند.
و درنهایت تعریف کلی تری توسط Redmond (2002) ارائه شد که مبنای مباحثی است که دراین مقاله از نظر گرامیتان می گذرد:
برای یک حلقه جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر R، که با نشان داده می شود گرافی است که رئوس آن مقسوم علیه های صفر غیر صفر R می‌باشند و دو رأس مجزای y,x مجاورند هرگاه حاصل‌ضرب آن ها صفر باشد. (xy=0)
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
مثال 19.2.1 گراف برطبق تعریف اخیر به صورت زیر می باشد :
(تصویر در فایل اصلی موجود است)
قبل از مطالعه‌ی مطالب اصلی مقاله دانستن قضایای زیر الزامی است:
قضیه 20.2.1 ]قضیه 2;2.2 [فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد، آن گاه متناهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح باشد. به ویژه اگر آن گاه R متناهی است و میدان نمی باشد.
برهان : فرض کنید =Z(R)* متناهی و ناتهی است. آن گاه x,y غیر صفر از 1R وجود دارد که xy=0. فرض کنید I=ann(x) آن گاه متناهی است و برای هر . اگر R نامتناهی باشد آن گاه وجود دارد که نامتناهی است و برای هر ، (r-s)y=0 بنابراین نامتناهی است و این یک تناقض می باشد پس R باید متناهی باشد.
قضیه 21.2.1 ]قضیه [ 2;2.3فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد. آن گاه همبند است و .
برهان: فرض کنید و مجاور باشند. آن گاه d(x,y)=1. حال فرض کنیم ، اگر x2=y2=0 آن گاه x-xy-y مسیری به طول 2 می باشد بنابراین d(x,y)=2. اگر x2=0 و آن گاه وجود دارد: با by=0. اگر bx=0 آن گاه x-b-y مسیری به طول 2 می باشد، اگر ، آن گاه x-bx-y مسیری به طول 2 می‌باشد. یعنی d(x,y)=2. به طور مشابه اگر y2=0 و . بنابراین فرض می کنیم x2,xy,y2 غیر صفر باشند، بنابراین وجود دارد: به طوری که ax=by=0 . اگر a=b آن گاه x-a-y مسیری به طول 2 می باشد. پس . اگر ab=0 آن گاه x-a-b-y مسیری به طول 3 می باشد. بنابراین و اگر آن گاه x-ab-y مسیری به طول 2 می باشد بنابراین ومی باشد.