تحقیق مقاله کاربرد کامپیوتر در ریاضی

تحلیل داده ها

1- ارقام با معنی:  

برای تعیین رقمهای با معنا ، رقمها را از سمت چپ به راست می شماریم. صفرهایی ک قبل از اولین رقم سمت چپ نوشته می شوندجزء رقمهای با معنا به حساب نمی آیند این صفرها به هنگام تبدیل یکاها ظاهر می شوند و تبدیل یکاها نباید تعداد رقمهای با معنا را تغییر دهد

12/6  : سه رقم بامعنی

0010306/0  :پنج رقم با معنی که اولین رقم با معنی یک است.صفرهای قبل از یک با معنی نیستند

20/1 : سه رقم با معنی در صورتیکه صفر با معنی نباشد عدد باید به صورت2/1 نوشته شود

38500 : سه رقم با معنی، چیزی برای اینکه نشان دهد صفرها با معنی هستند یا نه مشخص نیست می توان این ابهام را با نوشتن بصورتهای زیر برطرف کرد:

 : هیچکدام از صفرها با معنی نیستند

 : یکی از صفرها با معنی است

 :هر دو صفر با معنی است

m 040/0 = Cm0 /4=mm40 که هر سه دارای سه رقم با معنی هستند.

2- گرد کردن اعداد:

گرد کردن به دو رقم

اگر بخواهیم ارقام عدد 3563342/2 را به دو رقم کاهش دهیم، این عمل را گرد کردن عدد می نامند. برای این منظور باید به رقم سوم توجه کنیم بدین صورت که اگر قم سوم بزرگتر یا مساوی5 باشد رقم دوم به طرف بالا گرد می شود و اگر رقم سوم کوچکتر از 5 باشد رقم دوم به حال خود گذاشته می شود

گرد کردن به سه رقم

(معادله در فایل اصلی موجود است)

گرد کردن به سه رقم

   (معادله در فایل اصلی موجود است)

3- محاسبات و ارقام با معنی:

می خواهیم سطح مقطع یک استوانه به قطر6/7 را بدست آوریم:

اشکال کار: اگر دقت کنیم محاسبات تا 10 رقم با معنی است اگر از کامپیوتری تا 100 رقم استفاده می کردیم چه؟ در صورتیکه قطر کره تا دو رقم با معنی است بنابراین در اینگونه موارد به نکات زیر توجه می کنیم:

توجه: اگر مجبورید محاسبه ای را که در آن خطای مقادیر مشخص نیست انجام دهید و می بایستی فقط با ارقام با معنی کار کنید به نکات زیر توجه کنید:

الف ) زمانی که اعداد را در هم ضرب و یا بر هم تقسیم می کنید: عددی که با کمترین ارقام با معنی در محاسبه است را شناسایی کنید به حاصل محاسبه همین تعداد ارقام با معنی نسبت دهید

            چون 7/3 با دو رقم با معنی است         

       (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                                    

ب ) زمانی که اعداد را با هم جمع و یا از هم کم می کنید: تعداد ارقام اعشاری عدد حاصل از محاسبه را برابر تعداد کمترین ارقام اعشاری اعداد شرکت داده شده در محاسبه گرد کنید

کمترین اعشار مربوط به1/13 است             

     (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                       

مثال: شعاع یک کره5/13 سانتیمتر برآورد شده است. حجم ایمن کره را بدست آورید؟

جواب:                   

مثال: چگالی کرهای به جرم44/0 گرم و قطر76/4 میلی متر را بدست آورید؟

4- متغیرهای وابسته و مستقل:

به کمیتی که مقدار آن را می توانیم تنظیم نمائیم و یا در طول آزمایش به دلخواه تغییر داده می شود، متغیر مستقل گفته می شود و آنرا به عنوان مختصهx  در نمودار می گیریم.

به کمیتی که بر اثر تغییر در متغیر مستقل پیدا می کند، متغیر وابسته گفته می شود و به عنوان مختصهy  در نمودار گرفته می شود.

طول

(معادله در فایل اصلی موجود است)

مثلا در آزمایش انبساط طولی میله در اثر حرارت دما متغیر مستقل و طول میله متغیر وابسته می باشد 

دما

5- خطا :

تمام اندازه گیریها متاثر از خطای آزمایش هستند.منطور این است که اگر مجبور با انجام اندازه گیریهای پیایی یک کمیت بخوصوص باشیم، به احتمال زیاد به تغییراتی در مقادیر مشاهده شده برخورد خواهیم کرد. گرچه امکان دارد بتوانیم مقدار خطا را با بهبود روش آزمایش و یا بکارگیری روشهای آماری کاهش دهیم ولی هرگز نمی توانیم آن را حذف کنیم.

1-5- خطای دقت وسایل اندازه گیری :

هیچ وسیله اندازه گیری وجود ندارد که بتواند کمیتی را با دقت بینهایت اندازه گیری نماید.بنابراین نادیده گرفتن خطای وسایل اندازه گیری در آزمایش اجتناب ناپذیر است.

اگر اندازه کمیتی که اندازه می گیریم با گذر زمان تغییر نکند، مقدار خطا را نصف کوچکترین درجه بندی آن وسیله در نظر می گیریم.

مثال:

متر            کوچکترین درجه mm1              = مقدار خطا

پس اندازه گیریی  mm54 را بصورت             بیان می کنیم

دما سنج           کوچکترین درجه ºC2              = مقدار خطا

پس اندازه گیریی ºC60 را بصورت              بیان می کنیم   

2-5- خطای خواندن مقدار اندازه گیری:

3-5- خطای درجه بندی وسایل اندازه گیری:

خطا در مقدار کمیت

      مقدار کمیت

تعریف خطای مطلق: اگر خطا را با همان یکای کمیت اندازه گیری شده بیان نمائیم، به این خطا، خطای مطلق کمیت اندازه گیری گفته می شود

تعریف خطای نسبی: اگر خطا بصورت کسری          باشد، به این کسر، خطای نسبی مقدار کمیت اندازه گیری شده گفته می شود

4-5- ترکیب خطاها :

ممکن است در آزمایشی نیاز به یافت چند کمیت، که باید آنها را بعداُ  در معادله ای وارد کنیم، داشته باشیم برای مثال ممکن است جرم و حجم جسمی را اندازه بگیریم و سپس نیاز به محاسبه چگالی داشته باشم، که با رابطه زیر تعریف می شود:  سوال اینجاست که چه ترکیبی از خطاهای مقادیر m وV ] اندازه خطای را بدست می دهد. بدین منظور سه روش زیر ارائه داده می شود:

الف) روش اول: این روش را با دومثال زیر توضیح می دهیم:

مثال1: قطر سیمی با مقطع دایره ای برابر است با: مطلوب است اندازه سطح سیم و مقدار خطای آن؟

جواب:   (معادله در فایل اصلی موجود است)           

خطا

 (معادله در فایل اصلی موجود است)

مثال2: در یک آزمایش الکتریکی، جریان جاری شده در یک مقاومت برابر با و ولتاژ دو سر مقاومت  اندازه گیری شد.اندازه مقاومت و مقدار خطای مقاومت را بدست آورید؟

جواب:        (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                  

   باید بیشترین مقدار صورت و کمترین مقدار مخرج را در نظر بگیریم

  باید کمترین مقدار صورت و بیشترین مقدار مخرج را در نظر بگیریم

خطا

 (معادله در فایل اصلی موجود است)

ب ) روش دوم (محاسبه خطا با استفاده از مشتقات جزئی)

روش قبل در صورتیکه فرمول مورد استفاده بیشتر از یک کمیت باشد، می تواند مشکل آفرین باشد بنابراین روش دیگری معرفی می شود که مبتنی بر حساب دیفرانسیل است.

تابعZ تابعی از دو متغیرx وy می باشد Z=f(x,y)  در نظر می گیریم. مشتق جزئیZ بر حسبx وy را بصورت نشان می دهیم.در موقع محاسبه  ، y را ثابت گرفته و مشتقZ نسبت بهx  را بدست می آوریم و همینطور برای محاسبه  ،x  را ثابت گرفته و مشتقZ نسبت بهy  را بدست می آوریم.دیفرانسیل تابعZ  برابر است با:

روش کار: برای محاسبه خطای تابع Z از طرفین رابطه دیفرانسیل گیری می کنیم سپس با تبدیل

   رابطه زیر را بدست می آوریم:        

که مقدار خطای مطلق و  را خطای نسبی گویند. باید همیشه مقدار قدر مطلق قسمتهای فوق با هم جمع شود تا حداکثر خطا بدست آید.

توجه: در بعضی مواقع راحتر است ابتدا از طرفین رابطه لگاریتم گرفته شود و سپس دیفرانسیل آن را بدست آوریم.

مثال1: دمای مقدار آب توسط هیتر برقی که داخل آن قرار دارد تا  افزایش داده می شود. مقدار گرمای انتقال داده شده به آب و خطای آنرا بدست آورید؟ ( گرمای ویژه آب برابر است با:  )

جواب:

        (معادله در فایل اصلی موجود است)        

مثال2: قطر یک سیم برابر با  می باشد مقدار خطای سطح مقطع سیم را بدست آورید؟

جواب: (معادله در فایل اصلی موجود است)

مثال3: خطای نسبی تابع  را بدست آورید؟

جواب: ابتدا از طرفین رابطه لگاریتم می گیریم:

: خطای نسبی

 (معادله در فایل اصلی موجود است)

مثال4: خطای مطلق تابع  را بدست آورید؟

: خطای مطلق

 (معادله در فایل اصلی موجود است)

جواب:                                                          

          (معادله در فایل اصلی موجود است)                                                           

ج ) روش سوم زمانی که خطای اندازه گیریها کمیتهای مستقل از یکدیگر باشند:

در روشهای قبل در خیلی از حالات مقدار خطای محاسبه شده، بیشتر از حد متعارف برآورد می شودممکن است در حالی که خطا های دو کمیت مستقل از یکدیگر هستند این خطاها همدیگر را خنثی نمایند. اگر کمیتZ  وابسته به دو متغیرx وy  باشد، داریم:

مثال: مقدار میانگین جرم و حجم یک فلز و خطای معیار در این کمیتها مطابق جدول زیر است مقدار خطای معیار چگالی را بدست آورید

(معادله در فایل اصلی موجود است)

جواب: با توجه  به رابطه رالا داریم:

چگالی فلز برابر است با:                                             

پس:                                                                          

تفاوتهای بین درستی و دقت:

درست: مقدار بدست آمده نزدیک به مقدار واقعی است ولی مقدار خطا می تواند هر مقداری باشد.

دقیق: مقدار بدست آمده خطای کوچکی دارد، ولی بدین معنی که مقدار بدست آمده نزدیک به مقدار واقعی باشد نیست.

هم درست و هم دقیق:مقدار بدست آمده نزدیک به مقدار واقعی و با خطای کوچک است. نتایج بدست آمده از آزمایش خوب است جزء این دسته باشد

6- مقدار میانگین:

فرض کنید زمان سقوط یک جسم را برای جندین بار اندازه گیری می نمائیم مقادیر بدست آمده نخواهد بود.بهترین کاری که برای یافتن یک تک مقدار برای این زمان سقوط بدست آوریم، مقدار متوسط این اندازه گیریه می باشد.

1-6) مقدار میانگین درصورتیکه خطاهای اندازه گیریها یکسان باشد:

اگر اندازه گیریxi به تعدادn  مرتبه انجام گیرد،میانگین آن برابر است با:      

و مقدار خطای مقدار میانگین برابراست با:                                      

مثال: در آزمایشی8 اندازه گیری پیاپی از سرعت انتشار صوت در هوا انجام شده است مطلوب است میانگین و خطای مقدار میانگین اندازه گیریها؟

اعداد اندازه گیری:   7/342 ،3/340، 5/338، 1/341، 5/345، 2/342، 4/342، 5/341

جواب:(معادلات در فایل اصلی موجود است)

مقدار میانگین در صورتیکه هر اندازه گیری دارای خطای مخصوص به خود باشد:

اگر نتایج حاصل از اندازه گیری کمیتی به صورت:  و خطای این اندازه گیریها برابر

با:  باشد در این صورت مقدار میانگین و خطای مقدار میانگین از روابط زیر

بدست می آیند:  

7- واریانس و انحراف معیار:

اگر مربع انحرافات مقادیر  از مقدار میانگین را محاسبه و حاصل جمع این مجذورات را بر تعداد کل داده ها تقسیم کنیم، نتیجه را واریانس گویند:

                  (معادلات در فایل اصلی موجود است)                                

به di که تفاوت بین داده iام و مقدار میانگین را نشان می دهد، انحراف گفته می شود

جذر واریانس را انحراف معیار گویند:                    

انحراف معیار مقداری است که مشخصه پهن شدگی داده ها را نشان می دهد و برای مجموعه ای از اندازه گیریهای پیاپی یک کمیت بدون توجه به تعداد اندازه گیریهای انجام شده، تقریبا ثابت است

رابطه انحراف از معیار و خطا در مقدار میانگین:

  اگر انحراف معیار را با و خطا در مقدار میانگین را با  نشان دهیم داریم:   

توچه: اگر خواهان کم کردن خطا در مقدار واقعی یک کمیت هستیم، باید چندین اندازه گیری پیا پی از آن انجام دهیم. با توجه به رابطه  برای کم کردن خطا با مضرب2 باید تعداد اندازه گیریها با مضرب4 افزایش یابد.

مثال: مجموعه اعداد بدست آمده از آزمایشی بصورت زیر است:

9/22 ،6/26 ،0/24 ،8/26 ،0/27 ،7/22 ،3/23 ،+2/25    مطلوبست مقادیر میانگین، انحراف معیار، خطا در مقدار میانگین و بهترین مقدار این کمیت؟

(معادلات در فایل اصلی موجود است)