تحقیق مقاله ریاضی چیست

ریاضیات

همواره یکی از علوم فعال و زنده بوده است که براساس منطق استوار می باشد .پایگاه معرفت ریاضی خرد محض است و بر محور احساسات و خواسته ها نمی گردد .میزانی که با آن اندیشه های ریاضی را می سنجیم مستقل از آن اندیشه هاست .

نتایج همگی بر مبنای قوانین و اندیشه های که بر حسب معیارهای قانونی ریاضیات ثابت شده است .ریاضیات همچنین نمادی از تلاش بی پایان انسانها برای کسب دانش و آگاهی است .

دانش ریاضی محصول کوشش انسانها و ملل گوناگون در زمانهای مختلف است که فراتر از زمان و قالبهای فرهنگی و اقلیمی به منصه بروز و ظهور رسیده است .هدف این تلاش ، فعلیت یافتن گوهر وجودی انسان و پیشبرد معرفت و کمال بشری و گشوده شدن دروازه هایی از ارتباط میان اندیشه ها ، فرهنگها و تمدن هابوده است .

اکنون به جواب سؤال مطرح شده از زبان دکتر مصاحب می پردازیم :

جواب این سؤال در زمانهای مختلف و بر حسب بسط ریاضیات و بسط فکر ریاضی متفاوت بوده است .زمانی ریاضیات را علم اعداد  ،زمانی علم فضا و زمانی علم کمیات متصل و منفصل تعریف می کردند .این تعریف اخیر که شاید بیش از یک قرن تا حدی قابل قبول بود و هنوز در بعضی اذهان باقی است .

اما طرز فکر کنونی را می توان از این گفته یکی از محققین معاصر دریافت :

((در بابی علم فیزیک ، آشکار شده که ضرورت ندارد که ما ماهیت موجودات مورد بحث را بشناسیم بلکه آنچه ضروری است شناخت ساختمان ریاضی آنهاست .در حقیقت تنها چیزی که می شناسیم همین است ))

نفس ریاضیات در هر مبحث علمی ، خواه در علم اقتصاد یا در علم نجوم ، همین شناسانیدن  ساختمان ریاضی است .اینک بد نیست به گفتاری از پرفسور فضل الله رضا در باب ریاضی نو بپردازیم :

در علوم ریاضی نو هم بخلاف ریاضیات قرون پیش ، زیبایی ها کم یا بیش با معیار فربهی خیال و گسترش پرواز سنجیده می شود .وقتی به یکی از امرای علم دوست اسلامی قضیه فیثاغورث را عرضه کردند که مجذور طول وتر مثلث قائم الزاویه برابر مجموع مجذورات طول دو ضلع دیگر است .

 معروف است که وی چنان از زیبایی  این حقیقت جهانی سرمست شده که دستور داد شکل مثلث را بر روی آستین وی نقش کنند .

A2+b2=c2

این قضیه در قرن بیستم مانند شعرهای نابی که گویندگان بزرگ ایران قرنها پیش آفریده اند از زوایای تنگ مثلث بیرون آمده و به فضاهای بسیار گسترده که در علم و صنعت عمومیت دارند تعمیم داده شد.تعمیم این قضیه در فضاهای هیلبرت که به نام ریاضیدان بزرگ آلمانی قرن نوزدهم معرفی شده است  چنان است که برای هر X  از فضای هیلبرت و تصاویر بر محورهای پایه مختصات چنین می توان نوشت :  

X=x k  e k =(  x,e)e k   

هرچند تشخیص معیار از پی زیبا شناسی کار دشواری است با از نظر بحث درمجردات می توان گفت که زیبایی این قضیه پهناور بیش از زیبایی قضیه محدود فیثاغورث است .در اینجا همای  خیال بالاتر پرواز کرده مثلث قائم الزاویه  معمولی فضای دوبعدی اقلیدسی ، جای خود را در فضایی به ابعاد بی شمار به شکلی داده است که دیگر تصویر ساده در ذهن ما ندارد ، و بر آستین کسی نقش پذیر نیست .

اینجاست  که دیگر هر که خیالش فربه تر  است آن نقش را بهتر درمی یابد .بیش از دو هزار سال طول کشید تا قضیه  فیثاغورث در آغاز قرن بیستم به اوج زیبایی  خود رسید و قضیه هیلبرت بدست آمد .

بنیان معرفت حقیقی و هنر محض هر دو در عالم مجردات نقش می بندد  .تماس و برخورد با محسوسات گاهی ممکن  و مقدور است اما همه گاه ضرورت ندارد . چنانکه مساحان برای تحدید باغ و خانه ، مثلثهارا با رسن  و دوربین  مشخص می کنند  ولی  در فضاهای هزار بعدی این رسن ها و دوربین ها دیگر بکار نمی آیند .

آنجا کار محسوس وملموس پیچیده تر و خیال آلوده تر است . به هر تقدیر در دفتر زیبا شناسی پرواز مرغ فکر را نادیده نباید گرفت  .

امروز برداشت اهل فن از ریاضیات ،با برداشت عام تفاوت دارد .کار ضرب و تقسیم و عملیلت جبری را ماشینهای حساب به خوبی انجام می دهند .ریاضیدان بیشتر با مجردات سروکار دارد، عالمی خیال انگیز می آفریند و درآن عالم موجودات را به جان  هم می اندازد ترکیبات نو خلق     می کند واز دیدگاههای مختلف به مسائل می نگرد.

فصل دوم :

یافتن معادله ای ریاضی که 

بر جهان

حکمفرما است !

آیا ریاضیدانان خواهند توانست جهان را با حداقل جزئیاتش توصیف کنند ؟ این کار درزمان کپلر و گالیله ساده به نظر می رسید . ولی ببینیم  معادله نهایی حاکم بر طبیعت به چه شبیه است ؟

در ماه اوت سال 1609 میلادی در پراگ ، اختر فیزیک دان آلمانی  (( یوهانس کپلر))  دو معادله جهانی ارائه داد .او شکلهای هندسی که سیارات در آسمان طی می کنند را تشخیص داد .

این شکلها بصورت بیضی هایی بودند که مسیر های ستارگان را بصورت ریاضی توسط تنها یک به دست می داد. در اوت 1609، در پادو ( Padoue) جمهوری ونیز گالیله ساخت دوربین نجومی اش را تمام کرد ، حرکت ستارگان را بهتر از هرکسی در جهان مشاهده نمود .

او پس از سالها مطالعه بیان داشت که :

(( ویژگیهای کتاب طبیعت ، همان مثلثها ، مربعها ، دوایر ، کرات ، مخروطها واشکال هندسی دیگر می باشند )).

وبه این طریق لزوم یک توصیف ریاضی یگانه کننده از این شکلها ارائه شد .در 1686 نیوتن توانست معادله ای  من  ارائه دهند که بتوانند.که بتواند ارائه دهد که بتواند حرکت یک سیاره در آسمان و سقوط یک سیب از درخت را در یک فرمول بیان کند .

در 1915آلبرت انشتین نظریه نسبیت عام خود را ارائه داد وسپس معادلات مکانیک کوانتومی ارائه شدند .در واقع  وقتی  جهان را بتوان   فقط  با یک فرمول توصیف کرد که قادر باشد مشاهدات ممکن را توضیح دهد ، آن وقت به انتهای ریاضی و فیزیک خواهیم رسید (( استقلال هاوکینگ )) جانشین کنونی نیوتن بر کرسی ریاضیات دانشگاه کمبریج ، در 1980 معتقد بود که این ((تئوری همه چیز )) قبل از پایان قرن اخیر نوشته خواهد شد .اما  او اشتباه می کرد ، هنوز این  تئوری به ثمر نرسیده است  . بعداز بیش از بیست سال کاندیدای منتخب به صورت  (( تئوری ریسمانها یا ابر ریسمانها )) باقی می ماند که فرض می کرد اجسام بنیادی  بصورت ذره نباشند بلکه بصورت  ریسمانهای کوچکی باشند که نوسانی دائمی دارند .اما اختراع  ابزار ریاضی که بتواند این تکه ریسمانها را مرسوم کند باقی ماند.

اکنون استفان هاوکینگ معتقد است که این معادله ریاضی جهان در کمتر از ده سال آینده  نوشته خواهد شد .

آیا می توان امیدوار بود که کتاب بزرگ طبیعت فقط به یک سطر تقلیل یابد ؟

به طور نظری جواب مثبت است :

حل این معادله برای هر ریسمانی می تواند رفتار کل هر جسم را توضیع دهد اما در عمل این کتب قابل استفاده نیست .برای مطالعه بدن انسان که متشکل از 10 به توان 100 ریسمان است در واقع باید این معادله را حل کرد که غیر ممکن است .

از این پیچیدگی یک یک تشکیل اولیه مشتق می شود که این کتاب بزرگ باید توصیف آن را شامل شود .جهانی که به یک سطر متکی باشد فقط می تواند آشی از ریسمانهای غیر منظم یکنواخت باشد .

این آش بی نهایت محتوی دارد ولذا کتاب طبیعت را غول پیکر خواهد کرد تا بتواند تمام اشکال و پدیده ها را   از نظر ژنتیک گرفته تا اقتصاد در بر داشته باشد .پس در حالی که به یافتن یک معادله نهایی در آینده چنین  نزدیکی نوید داده می شود .آیا بطور ناگهانی در خارج از محدوده کوششهای ما در رسمی کردن آن نمی انجامد .؟

متذکر می شویم که علی رغم تنوع مختلف در دانه های برف ، کلم ، سیب ، رعد وبرق و غیره  هر یک وجه مشترک و ناوردایی دارند ، یعنی همگی ساختاری مثل یک درخت دارند ، با یک تنه مرکزی که به شاخه ها وسپس به برگها ختم می شوند .

ریاضی دان فرانسوی (( Benoit  Mandeibort  )) توانسته است  یک ناوردای پنهان را از این تنوع مختلف استخراج کند :

(( هر کدام از اجسام صرفه نظر که به آن نگاه می کنیم شکل یکسانی را حفظ       می کنند ))

در واقع می توان شاخه رابعنوان شاخه را به عنوان یک درخت مینیا توری  مجسم کرد . معادله ((مندلبروت )) تعبیر  ریاضی این پدیده  است .(( فراکتالهای )) آن می توانند گل کلم و دانه های برق را یگانه کرده  ویک ابزار قدرتمند برای آنالیز آن بسازند .

روبرت هوکفلد و ناتان  کوهن (Rober  Hokfeld  . Natan  cohen)  دو ریاضیدان آمریکایی نشان  داده اند که آنتنهای رادیو یا رادیو های قابل حمل دارای یک شکل فذاکتالی می باشند .

نیمه کمتر بزرگتر آن ، نوار فرکانس بزرگتر را با دقت بیشتر دریافت می کند . جهان ما نیز            می تواند  این شکل شاخه شاخه شدنی (انشعابی ) را تا بی نهایت داشته باشد . بنایراین  فراکتالها به مثلثها ، مربعها ، دوایر ، کرات ، مخروطی و شکلهای هندسی  دیگری  اضافه می شوند تا بیان گالیله ای از طبیعت راکامل  کنند و پدیده های انشعاب یافته را به حساب آورند .

توجه کنید :

ساختار یک دانه  برف یک فراکتال است و این شکل محض مملو از اسرار طبیعت  است که شکل های هندسی مختلف را تشکیل  می دهد .فراکتالها فقط با یک معادله می توانند دانه برف ، گل کلم ، رعد وبرق و ساحل دریا را وحدت بخشند

فصل سوم

حساب دیفرانسیل

و

انتگرال چیست ؟

( بر گرفته از جلد دوم حساب

دیفرانسیل و انتگرال توماس )

حساب دیفرانسیل وانتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است .هر جا حرکت یا رشدی هست ، هر جا نیروهای متغیری در کار تولید شتاب اند ، حساب دیفرانسیل و انتگرال درست همان ریاضیاتی است که بکار می آید .

این امر در آغاز پیدایش این مبحث صادق بود ، و امروز نیز چنین است .حساب دیفرانسیل وانتگرال در آغاز برای برآورد ه کردن نیازهای دانشمندان قرن هفتم ابداع شد .حساب دیفرلنسیل با مسآله محاسبه آهنگهای تغییر سرو کارداشت و به دانشمندان امکان می داد شیب خم ها را تعریف کنند ، سرعت و شتاب اجسام متحرک را محاسبه کنند ، زاویه آتش باری توپ را برا ی حصول بیشترین برد بدست آوردند ، و زمانهایی را که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را ازهم دارند ، پیش بینی کنند .