تحقیق مقاله ضرب تانسوری و گروه هم ریختی ها

نماد: نشانگر یک حلقه ی است که لزوما جابجایی نسبت ولی عضو همانی دارد و نشانگر حلقه صحیح است.

تعریف ضرب تانسوری

در فصل قبلی ملاحظه کردیم که اگردو مدول باشند آنگاه   ساختار یک گروه آبلی دارد. این مثال مهمی است برای بدست آوردن مدولی جدید از دو مدول مفروض که در بخش های بعدی مطالب بسیاری در مورد خواهیم گفت. همچنین ساختاری را مطالعه خواهیم کرد که گروهی است آبلی و وقتی بدست می آید که یک مدول چپ و یک مدول راست وجود دارد. این ساختار که یکی از مهمترین ساختارهای جبرپیشرفته است گروهی است که ضرب تانسوری دو مدول نامیده می شود.

فرض کنیم که یک مدول راست و یک مدول چپ باشد و در اینصورت را بعنوان یک مدول آزاد تولید شده توسط مجموعه ای از زوج های معرفی می کنیم که در آن همچنین کوچکترین زیر مدول است که شامل تمام اعضایی به فرم های زیر است:

بطوریکه  قرار می دهیم در اینصورت تصویر تحت نگاشت طبیعی است

( یعنی )

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

که ساختاری مدول دارد را ضرب تانسوری  روی  می نامیم. چون هر عضو به صفر نگاشته می شود ، لذا داریم:

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

تذکر: اگر  ثابت فرض شود، نگاشت          یک همریختی از  بتوی  است و اگر ثابت فرض شود، نگاشت  یک همریختی از  بتوی  است. بنابراین اگر عددی صحیح فرض شود. آنگاه  بویژه و

چون هر عضو جمع متناهی است، بنابراین هر عضو جمع متناهی است. چون  بنابراین هر عضو بصورت جمع متناهی از اعضایی به فرم  است.

ضرب تانسوری حلقه های جابجایی

فرض کنیم یک حلقه جابجایی باشد ویک      همریختی  وجود دارد که را به می نگارد، در این همریختی اعضای به فرم  و  به صرف نگاشته می شوند. همچنین چون جابجایی است، اعضای به فرم  نیز به صفر نگاشته می شوند. بنابراین این همریختی های روی  صفر می شود و لذا یک همریختی القایی وجود  دارد.

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

اگرآنگاه را بعنوان تصویر در این همریختی نشان خواهیم داد. بنابراین

بطوریکه 

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

اگر اعضای دلخواهی از باشند و  آنگاه و بعبارت دیگر یک  مدول می باشد.

خلاصه : در حالت کلی ( غیر جابجایی)،  یک مدول است ولی وقتی جابجایی است آنگاه با توجه به   ، یک  مدول است.

قضیه1: اگر یک مدول چپ باشد، آنگاه یک  یکریختی کانونی وجود دارد که اگر جابجایی باشد آنگاه یک یکریختی است.

( البته یکریختی کانونی مشابهی مانند به ازای مدول های راست برقرار است.)

برهان:

همریختی  را که در نظر می گیریم. سادگی مشاهده می شود که این همریختی روی صفر می شود و لذا  همریختی  را که القا می کند. چون به ازای هر ملاحظه می کنیم که یک اپی مور فیسم است. حال کافی است ثابت کنیم  تکریختی است. فرض کنیم ثابت می کنیم اگر آنگاه  داریم.          

در نتیجه حال اگر آنگاه و بنابراین  در نتیجه تکریختی است. بنابراین  یک ایزومورفیسم است.

حال فرض کنیم  جابجایی باشد و  با نوشتن  به فرم  خواهیم داشت:

بنابراین  یک  یکریختی است.

ضرب تانسوری همریختی ها

ابتدا فرض کنیم بترتیب مدولهای راست و چپ باشند و   و  دو همریختی باشند در اینصورت همریختی که  روی  صفر     می شود در اینصورت همریختی القا

 می شود که

نگاشت را ضرب تانسوری می نامیم، وقتی  جابجایی باشد آنگاه  یک همریختی است اگر سه همریختی سه همریختی   باشند ، آنگاه :

همچنین اگر جابجائی باشد و آنگاه:

قضیه2: اگر نگاشتهای همانی باشند آنگاه یک نگاشت همانی است

اگر ،همریختی باشند آنگاه:

برهان: بدیهی است

نتیجه: اگر،دو یکریختی باشند آنگاه  یک یکریختی است.

 برهان:

 فرض کنیمو یکریختی های معکوس باشند، آنگاه با استفاده و از قضیه فوق، نگاشتهای  همانی هستند و این نتیجه می دهد که نگاشتهای معکوس هستند یعنی می توان گفت نگاشت معکوس دارد و لذا یکی یکریختی است.

قضیه 3

فرض کنیم   همریختی های  

نمایش های کاملی از و بعنوان حاصلجمع مستقیم از مدولها باشند، آنگاه  همریختی های

یک نمایش کامل از بعنوان حاصلجمع مستقیم از مدولهاست.

( تذکر:  لزوما متناهی نیستند. همچنین توجه داشته باشید که اگر جابجایی باشد، آنگاه  یک نمایش کامل از  بعنوان حاصلجمع مستقیم مدولهاست.)

برهان:

فرض کنیم آنگاه

بنابراین با توجه به قضیه 4 فصل1 کافی است نشان دهیم

فرض کنیم  آنگاه با توجه به   خواهیم داشت:  

که در آن 

در نتیجه

وبنابراینو لذا  بنابراین

و لذا اثبات قضیه کامل می شود.

نتیجه: فرض کنیم  یک مدول چپ آزاد، با پایه ی باشد و یک مدول راست دلخواهی باشد، آنگاه هر عضو یک نمایش منحصر به فرد به شکل دارد که در آن و تقریبا برای هر .

برهان:

فرض کنیم در اینصورت که تقریبا برای هر از اینرو تقریبا برای هر از اینرو تقریبا برای هر  

بنابراین  دارای نمایش به صورت مورد نیاز دارد و بنابراین برای هر عضو این مطلب درست خواهد بود.

حال فرض کنیم که که و برای تقریبا همه   ها            باید ثابت کنیم که به ازای هر چون پایه ی است، نگاشتهای شمول نمایش انژکتیو از بعنوان حاصلجمع مستقیم  تشکیل می دهند د رنتیجه نگاشتهای  نمایشی از بعنوان حاصلجمع مستقیم از مدولهای را بوجود می آورند و بنابراین ایزومورفیسم  را معین می سازند در این ایزومورفیسم عضو  بتوی  که بنا به فرض برابر صفر است، نگاشته می شود. بنابراین به ازای هر بعنوان عضو برابر صفر است. حال یک یکریختی  وجود دارد که عضو را به

می نگارد و این ایزومورفیسم  را نتیجه می دهد.

با استفاده از قضیه1، همچنین ایزومورفیسم کانونی  را داریم و لذا

و در نتیجه در این ایزومورفیسم عضو                                                   بتوی  نگاشته می شود که صفر است بنابراین و این اثبات را کامل می کند

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)