تحقیق مقاله آشنایی با بی نهایت ها و دترمیان و ارائه فرمول ها

بی نهایت ها

بی نهایت (از واژه لاتین "finitus" به معنی "محدود" گرفته شده – علامت ریاضی: ∞) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیتی زمانی و فضایی وجود ندارد.در ریاضیات، با اصطلاح "انتقال-از-محدود(transfinite)" مشهور است؛ و چیزی است که فقط محدود نباشد، ولی ممکن است محدودیتهای دورتر از آن داشته باشد.

نگرش باستانی در مورد بی نهایت :

نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است:“... تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که میتوان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد، بی نهایت است. بنابراین بی نهایت، امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد، همیشه از هر عدد معینی بیشتر است."

به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود، به هرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند:

یکی اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آنها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است، اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند.

دیگر اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی، اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم. مثلا "برای هر عدد صحیح n، یک عدد صحیح m (m > n) وجود دارد همچنین ( Phi(m". دومین نگرش را بصورت واضح تر در آثار نویسندگان قرون وسطایی مثل William of Ockham میتوان یافت:

(هر زنجیره حقیقتا وجود دارد. بنابراین هر یک از اجزاء آن واقعا در طبیعت وجود دارد. اما اجزاء زنجیره نامحدود هستند چون هیچ عدد بزرگی نیست که عددی بزرگتر از آن نباشد، پس اجزاء نامحدود واقعا وجود دارند.)

اجزاء از بعضی جهات واقعا وجود دارند. بهرحال، در این نگرش، هیچ بزرگی بی نهایتی نمی تواند یک عدد داشته باشد، چون هر عددی را که تصور کنیم، همیشه عددی بزرگتر از آن وجود دارد: "هیچ بزرگی (از لحاظ عددی) نیست که بزرگتر از آن نباشد". Aquinas همچنین بر ضد این نظریه که بی نهایت می تواند از هر جهت کامل یا کلی باشد بحث کرده است مرجع.

 نگر ش های نوین آغازین در مبحث بی نهایت ها :

گالیله (در زمان بازداشت طولانی در خانه اش در Sienna بعد از محکومیتش توسط استنطاق مذهبی) اولین کسی بود که متوجه شد می توان مجموعه ای از بی نهایت عدد را بصورت تناظر یک به یک با یکی از زیر مجموعه های حقیقی آن در کنار هم قرارداد. (هر جزئی از این مجموعه که با کل آن برابر نیست). مثلا ما می توانیم "مجموعه" اعداد زوج را {...،8. 6. 4، 2} با اعداد طبیعی {...،4، 3، 2، 1} بصورت زیر جور کنیم:

1, 2, 3, 4, ...

2, 4, 6, 8, ...

با این استدلال مشخص می شود، اگرچه طبیعتا یک مجموعه که بخشی از مجموعه دیگر بوده، کوچکتر است(چون تمام اعضاء آن مجموعه را شامل نمی شود) از بعضی جهات هم اندازه اند. او معتقد بود این یکی از مشکلاتی است که وقتی ما میخواهیم "با ذهن محدود خود" یک امر نامحدود را درک کنیم، پیش می آید.

تا کنون آنگونه که من درک کردهام ما تنها می توانیم اینگونه استنباط کنیم که کل تمامی اعداد نامحدود است، اینکه تعداد مجذورات نامحدودند، و تعداد ریشه آنها نیز نامحدود می باشد، نه تعداد مجذورات کمتر از کل تمامی اعدادند و نه آن یکی بیشتر از دیگری است؛ و بالاخره خصوصیات "برابر"، "بزرگتر"، و "کوچکتر" قابل اعمال به بی نهایت نیستند، بلکه فقط قابل اعمال به کمیات محدود اند در دو علم جدید 1938 .

این نظریه که اندازه را می توان بوسیله تطابق یک به یک سنجید، امروزه به نام اصل هیوم معروف است، اگرچه هیوم نیز همانند گالیله معتقد بود که این اصل نمی تواند در مورد مجموعه های نا محدود بکار رود.

Locke، لوک نیز همانند فلاسفه تجربه گرا نیز بر این باور بود که ما نمی توانیم هیچ نظر مناسبی درباره بی نهایت داشته باشیم. آنها عقیده داشتند تمامی نظرات ما از نمود احساس یا تصورات سرچشمه می گیرد، و چون تمامی حواس و خیالات ما ذاتا محدودند، به همین دلیل دایره افکار و عقاید ما محدود خواهند بود. نظر ما درباره بی نهایت صرفا منفی یا شخصی است.

"اجازه ندهیم هر اندازه که عقیده مثبت در ذهن خود نسبت به هر مکان، مدت یا عددی داریم شدت یابد، چون بهرحال آنها محدودند؛ اما وقتی یک باقیمانده پایان ناپذیر را فرض می کنیم، که تمامی قیود را از آن برمیداریم، و به ذهن خود اجازه تفکرات تصاعدی بی پایان را می دهیم، بی آنکه عقیده خود را کامل نماییم،آنجاست که ما نظر خود را در مورد بی نهایت خواهیم داشت؟ تازه وقتی فکر خود را درباره فضا یا مدت بینهایت شکل میدهیم، آن نظر بسیار مبهم و پیچیده است، زیرا آن از دو بخش بسیار متفاوت ساخته شده است، اگر متناقض نباشند. برای کمک به تنظیم یک طرح در مورد هر فضا یا عددی، به بزرگی تصورمان، کافی است بسادگی ذهن را راحت نموده و تفکرمان را در باره آن طرح متوقف سازیم؛ که برخلاف عقیده در باره بینهایت است، که عبارتست از تصور تصاعدی بی پایان." (Essay, II. xvii. seven. ، تاکید نویسنده)

بطور بسیار عالی، توماس هابز فوق-تجربه گرا، سعی نمود تا از ایده بینهایت بالقوه در روشنایی کشف شکل «Gabriel's horn) بوسیله توریچیلی Evangelista Torricelli دفاع نماید، شکلی که سطح نامحدود داشته، ولی حجم آن محدود است.

ادراک ریاضی در مبحث بی نهایتها :

درک ریاضی مدرن از بینهایت در اواخر قرن نوزدهم توسط کارهایGeorg Cantor،Gottlob Frege، Richard Dedekind و دیگران با استفاده از ایده مجموعه ها، توسعه یافت.برخورد آنها در اصل به قبول ایده ««تناظر یک به یک بعنوان یک استاندارد برای مقایسه سایز مجموعه ها بود، و رد کردن نظر گالیله (که از اقلیدس ناشی شده بود) مبنی بر اینکه کل نمیتواند هم اندازه جزء باشد. یک مجموعه نامحدود را میتوان بصورت ساده طوری تعریف نمود که هم اندازه حداقل یکی از اجزاء "مناسب" آن باشد.

بدینسان کانتور نشان داد که مجموعه های بینهایت میتوانند اندازه های متفاوت داشته باشند، با تمایز بین مجموعه های بینهایت قابل شمارش و بینهایت غیر قابل شمارش، و یک فرضیه اعداد کاردینال را حول این مطلب توسعه داد. نظر او غالب گردید و ریاضیات مدرن عملا بینهایت را پذیرفت. سیستمهای اعداد توسعه یافته مشخصی، مانند اعداد حقیقی، اعداد معمولی(محدود) و اعداد نامحدود را با سایزهای مختلف، متحد می نمایند.

وقتی سروکارمان با مجموعه های نامحدود می افتد، بصیرت کسب شده ما از مجموعه های محدود ازکار میافتد. یک مثال برای این پارادوکس گراند هتل هیلبرت است.

یک سوال فریبکارانه این است که آیا بینهایت عملی در کیهان مادی وجود دارد: آیا تعداد ستاره ها نامحدود است؟ آیا گیهان دارای حجم نامحدود است؟ آیا فضا "تا ابد ادامه" دارد؟ این یک سوال باز مهم در کیهان شناسی است. توجه داشته باشید که سوال از نامحدود بودن بصورت منطقی، غیر از سوال در مورد داشتن مرز می باشد. سطح دو بعدی زمین، برای مثال، محدود است، در حالیکه هیج مرزی ندارد. با راه رفتن / دریانوردی / رانندگی به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم، شما درست به همان نقطهای که شروع کرده بودید، باز می گردید. کیهان، حداقل در مبادی و اصول، ممکن است بر اساس یک اصل مشابه عمل نماید؛ اگر شما با فضاپیمای خود به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم و روبروی خود پرواز کنید، شما اتفاقا و بصورت ناگهانی دوباره از همان نقطهای که از آن شروع کرده بودید، می گذرید.

 نظریات مدرن بی نهایت ها :

مباحثه مدرن درباره بینهایت امروزه بصورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مرد توجه قرار گرفته است، و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند. Wittgenstein یک استثناء بوده است، کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه، و ایده بینهایت عملی، در "اواسط عمر خود" انجام داد.

بینهایت امروزه به انواع مجوعه ها نامحدود زیادی تقسیم شده است، مانند aleph-null، یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی، و beth-one، یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمانهای موجود در یک دایره یا تعداد نقاط روی یک خط، و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.

:"آیا معادله m = 2n گروه تمام اعداد را با زیرگروههایش مرتبط می کند؟ خیر. آن هر عدد دلخواهی را با دیگری مرتبط می سازد، و بدین ترتیب ما به گروههای زوج نامحدود وارد می شویم، که هرکدام به دیگری مرتبط میباشد، ولی هرگز به گروه یا زیرگروهی مرتبط نیستند. هیچیک از این دو، یکجوری خودش یا دیگر گونه از یک زوج گروه، فرآیند نامحدود نمی باشند ... در موهومات که m = 2n یک گروه را با زیرگروههایش مرتبط می سازد، هنوز ما صرفا یک حالت از دستور زبان دوپهلو را خواهیم داشت." (Philosophical Remarks ? 141, cf Philosophical Grammar p.465)

برخلاف تجربه گراهای سنتی، او معتقد بود بینهایت یک جوری در درک تجربی مسلم می باشد.

:"من میتوانم وجود هر تجربه محدودی را در فضا مشاهده کنم ... ما ضرورت بینهایت را در فضا در ...کوچکترین جزء آن تشخیص میدهیم". " زمان با همان احساس نامحدود است همانطور که فضای سه بعدی جرکت و منظر نامحدود است، اگرچه در حقیقت دورترین جایی که می توانم ببینم، دیوارهای اتاقم باشد.":" آنچه درباره بی پایانی، نامحدود است، فقط بی پایانی خودش است ..."

 مطلق :

سوال دیگر این است که آیا ادراک ریاضی از بینهایت ارتباطی با ادراک مذهبی از خدا دارد؟ این سوال هم کانتور را، با عقیده اش در مورد بینهایت مطلق که با خدا برابر قرارداده شده است، و هم Kurt Godel را با اثبات ؟؟؟ Godel's ontologicalاش از وجود یک نهاد که او آنرا به خدا وابسته کرد، مخاطب خود قرار داده است.

اعداد اول و پیدا کردن فرمولی برای کشف آنها سالیان سال از جمله مواردی بود که ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول نمود. در این مطلب با نگاهی متفاوت به اعداد و مرتب کردن آنها سعی خواهیم کرد جستاری هرچند مختصر در باب اعداد به خصوص اعداد اول داشته باشیم.

اعداد اول

ایجاد مارپیچ اعداد بسیار ساده است و برای ساختن آن کافیست شما تمام اعداد صحیح و مثبت را بر روی یک نوار مارپیچی(حلزونی) مرتب کنید به شرطی که صفر در ابتدای این نوار قرار گیرد. نکته اصلی در چیدن اعداد، قرار دادن اعداد مربع کامل مانند ۱، ۴، ۹ و … بر روی یک ردیف و در سمت راست می باشد.اگر روند چیدن اعداد را به صورت ذکر شده در بالا ادامه دهیم نتیجه ای مشابه حاصل می شود. کمی دامنه دید خود را بالاتر می بریم و این چیدن را تا ۲۰۲۶ عدد صحیح ادامه می دهیم . اکنون اگر اعداد اول روی مارپیچ را کمی پررنگ تر کنیم با من هم عقیده خواهید شد که اعداد اول در امتداد خم های خاصی قرار دارند .

بگذارید دامنه دیدمان را بیشتر کنیم تا ابهامی باقی نماند. مارپیچ اعداد تمام اعداد اول واقع در ۴۶۵۶۵ عدد صحیح و مثبت ابتدایی را در بر میگیرد که برای وضوح اعداد غیراول را از آن حذف کرده ایم. به نظر می رسد اعداد اول، روی بعضی خمها با امتداد شمال غربی و جنوب غربی دارای تراکم بیشتری می باشند. نقطه امید ریاضیدانها برای پیدا کردن فرمول اعداد اول همین خمها هستند. به عنوان نمونه خم مشخص شده با فلش آبی رنگ را در نظر بگیرید. فرمول اعداد واقع روی این خم به صورت زیر می باشد که همان فرمول معروف اویلر برای ایجاد اعداد اول است. 

۱)+۴۱

دترمیان با فرمول

ایده دترمینان برای اولین بار در سال 1683 ظاهر شد . سکی (Seke) در کتاب حل مسائل فریبنده خود روش های ماتریسی را به عنوان جدول های اعداد مشابه سبک چینی معرفی کرده است.سکی با بکارگیری دترمینان ها قادر بود  دترمینان ماتریس های با مرتبه های بالا را نیز محاسبه کند و روش هایش را در حل دستگاه معادلات چند مجهولی بکار گیرد.

همچنین لیبنیز (Leibniz) به صورتی قابل توجه در نامه ای به هوپیتال توضیح داد که دستگاه معدلات

دارای جواب است اگر

منظور لیبنیز از اعداد بالا ضرایب عددی نبود .بلکه دو علامت بود که اولی بیانگر شماره معادله و دومی بیانگر متغیری است که این علامت به آن تعلق دارد.به عنوان مثال در عصر حاضر ممکن است  بجای 21 از نمادa21  استفاده کنیم.مشاهده می کنیم که شرط فوق دقیقا همان شرط ناصفر بودن دترمینان ماتریس ضرایب را بیان می کند.حال ممکن است این سوال پیش آید که دترمینان چیست و چگونه تعریف می شود.در جواب می توان گفت D(A) یک تابع با خاصیت دترمینان است هرگاه چهار شرط زیر را داشته باشد:

اگر هر ستون ماتریس A را با ai نشان دهیم داریم: