بردار به معنای حمل کننده میباشد و از یک کلمه لاتین به همین معنا گرفته شده است.یک بردار به عنوان یک عنصر از فضای برداری تعریف میشودو در فضای nبعدی دارای n مولفه است.پس بدیهی است که یک بردار در صفحه دارای دو مولفه میباشدو یا در فضای سه بعدی سه مولفه را اختیار میکند.بردارها در علوم مختلف مانند فیزیک کاربردهای فراوانی دارند و بدون آنها نمیتوان بسیاری از مولفه های فیزیکی مانند سرعت ، شتاب و... را تفسیر و تعریف نمود.
کمیتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز باشد. مهم ترین کمیت های برداری که میتوان نام برد عبارت‌اند از:
۱- مکان ۲- سرعت ۳- شتاب ۴- نیرو ۵- میدان های الکتریکی و مغناطیسی
یکی از بهترین راهای تشخیص برداری بودن یا نبودن یک کمیت اینست که بررسی کنیم آیا جمع آن کمیت خاصیت برداری دارد یا خیر. مثلاً جریان الکتریکی با وجود آنکه علاوه بر اندازه جهت نیز دارد ولی برداری نیست زیرا جمع جریان ها به صورت اسکالر صورت میگیرد (قانون جریان کیرشهف).
در حالت بسیار کلی هر مجموعه عدد که به صورت یک ماتریس ستونی n*۱ قابل نوشتن باشد بردار گفته میشود. کاربرد این مفهوم در توصیف حالت سیستم ها به مراتب بیشتر از محاسبات پدیده‌های فیزیکی است.
خصوصیات بردارها
بردارها را میتوان با یکدیگر جمع (جمع بردارها) و یا ضرب (ضرب بردارها) کرد.البته ضرب دو بردار با ضرب یک اسکالردر آن فرق میکند.ضرب بردارها سه نوع است که عبارتنداز ضرب داخلی ، ضرب خارجی و ضرب مستقیم تانسوری که حاصل همه این ضربها لزوما یک بردار نیست.
هر بردار دارای دو مولفه است که این دو مولفه عبارتند از طول بردار و جهت بردار.همچنین هر بردار دارای یک ابتدا و یک انتها نیز هست. برداری که دارای طول واحد باشدبردارواحد مینامند و برداری که طول آن صفر است را بردارصفر مینامند.
جبر برداری
مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و... که بر روی بردارها انجام میشود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند.
اطلاعات اولیه
بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده میشود. یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف میشود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص میشود. به عنوان مثال میتوان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند. هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش میدهند. جمع دو یا چند بردار را میتوان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه میکنند، انجام داد.
ضرب بردارها
ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام میشود. در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده میشود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن. طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهد بود. اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده میشود، نتیجه حاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین میشود و اندازه آن با حاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست. ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد. به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت میتوان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد. اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.
قاعده دست راست
قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان میشود. فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب میشود. برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود
مشتق گیری برداری
برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره میشود.
مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.
مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است. بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف میشود. یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب میشوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد. علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام میشود.
انتگرال گیری برداری
در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع میتوان در نظر گرفت. توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری. به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است. همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد. در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت میگیرد. اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارم روی یک حجم صورت میگیرد. نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد. به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.
ضرب داخلی
در ریاضیات فضای ضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد
تعریف
ضرب داخلی دو بردار uوvرا با نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار ویک اسکالر باشدآنگاه:
1.
2.
3.
4. و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.
تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
1. در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:
2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:
به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:
نرم در فضای ضرب داخلی
در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:
در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.
نامساوی کوشی-شوارتز
البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.
محاسبه زاویه بین دو بردار
پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:
باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.
آنالیز برداری
اطلاعات اولیه
بیشتر کمیات فیزیکی که در فیزیک و علوم مهندسی با آنها مواجه می‌شویم، به دو صورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند. یک کمیت اسکالر تنها با بیان بزرگی و همراه با یکای خود ، اگر داشته باشد، کاملا مشخص میشود. به عنوان مثال جرم یک کمیت اسکالر است که با مقدار و یکایش که کیلوگرم است، کاملا مشخص می‌گردد. دسته دیگری از کمیات ، کمیات برداری هستند که علاوه بر مقدار و یکا دارای جهت نیز هستند.
به عنوان سرعت و شتاب نمونه‌هایی از کمیتهای برداری هستند. کمیتهای برداری از قواعد جبر برداری پیروی میکنند و علاوه بر آن هندسه ، دیفرانسیل و انتگرال که در نمایش ریاضی کمیتهای فیزیکی ، نقش بسیار مهمی‌دارد، نیز ضروری است. کلید این مباحث در مطالبی تحت عنوان آنالیز برداری که به مفهوم تحلیل و بررسی مسائل مربوط به بردارهاست، مورد بحث قرار میگیرد.
نمایش کمیاب برداری
گفتیم که هر کمیت برداری علاوه بر مقدا و یکا با جهت نیز مشخص میشود، از نظر ترسیمی ، یک بردار با یک پاره خط و یک پیکان در یک انتهای آن نمایش داده میشود. طول پاره خط تقریبا متناسب با بزرگی کمیت برداری است، پیکان جهت کمیت برداری را نشان میدهد. به عنوان مثال اگر A یک کمیت برداری باشد، در این صورت نمایش داده میشود.
تساوی بردارها
دو بردار را در صورتی مساوی می‌گویند که بزرگی و جهت آن دو با هم برابر باشند. به عبارت دیگر برای تساوی دو بردار علاوه بر اینکه باید اندازه یا بزرگی آنها با هم برابر باشد، باید هم جهت نیز باشد.
ضرب بردارها
بردارها معمولا به دو صورت می‌توانند در هم ضرب شوند. این دو به نامهای ضرب داخلی یا عددی و ضرب برداری معروف هستند.
ضرب عددی
ضرب عددی دو بردار B و A با نماد B.A نمایش داده میشود و حاصل آن برابر است با حلصضرب بزرگی دو بردار در کسینوس زاویه بین آنها از آنجا که90 Cos برابر صفر است، لذا میتوان گفت که اگر حاصضرب عددی دو بردار برابر صفر باشد در این صورت این دو بردار بر هم عمودند.
ضرب برداری
ضرب برداری دو بردار دلخواه B,A بصورت A×B نشان داده میشود و مقدار آن برابر است با حاصضرب بزرگی دو بردار در سینوس زاویه بین آنها. همچنین می‌دانیم که سینوس صفر یا 180 درجه صفر است، بنابراین دو بردار موازی باشند، در این صورت حاصل ضرب برداری آنها صفر خواهد شد.