تحقیق مقاله حل مسایل مقدار اولیه مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیرخطی به وسیله شبکه‌ های عصبی

مقاله چند بعدی

حل مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیر خطی بوسیله شبکه های عصبی مصنوعی پیشخور.

چکیده

در این مقاله روش جدید عمومی برای حل علمی مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات جزئی بخصوص مراتب بالا و غیرخطی در یک ابرمکعب سیلندری ارائه می شود. این روش یک روش مش- فری بوده و جدایی بفرم بسته تحلیلی تولید میکند. ترکیبی از مفاهیم شبکه های عصبی مصنوعی و ابزارهای بهینه سازی چند بعدی در این روش بکار میرود. بوسیله مفاهیم تقریب توابع چندمتغیر، وابسته به مباحث شبکه های عصبی مصنوعی پیشخوار و نیز بکمک هم محلی در نقاطی مشخص، حل مسئله مقدار اولیه- مرزی به مسئله بهینه سازی نامتغیر یک تابع انرژی تبدیل میگردد. بعبارت دقیقتر یک جواب آزمون عصبی برای مسئله مقدار اولیه- مرزی متشکل از مجموع دو قسمت در نظر میگریم: قسمت اول در شرایط اولیه- مرزی (زمانی- فضایی) صدق میکند، درحالیکه قسمت دوم شامل متغیرهای لازم برای مینیمم سازی تابع خطای مسئله میباشد و بکمک یک شبکه عصبی سه لایه و پیشخور شبیه سازی گشته و برای صدق در دستگاه معادلات دیفرانسیل مسئله آموزش میبیند. این روش را میتوان بعنوان تعمیمی مناسب از روشهای معینی در نظر گرفت. کاربرد این روش جدید صرفنظر از نوع شرایط اولیه- مرزی در دامنه ای از یک معادله دیفرانسیل معمولی تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل جزئی متغیر است.

کلمات کلیدی:

دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته بزمان- مسایل مقدار اولیه- مرزی- شبکه های مصنوعی پیشخور- یادگیری نظارت بهینه سازی نامقید چندبعدی.

1.مقدمه:

در علوم مهندسی اغلب سیستمهای دنیای واقعی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند، شامل چندین شرط اولیه یا مرزی وابسته به شرایط فیزیکی مسئله نیز میباشند. مهمترین شاخص در مورد هر مسئله مقدار اولیه- مرزی برای یک دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی عبارتست از خوش‌خیمی آن یعنی وجود و یکتایی جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نیز نوع شرایط اولیه- مرزی قابل بحث است. مانند سایر مسایل روشهای زیادی هر چند مشکل، برای حل غیرتحلیلی چنین مسایلی وجود دارد از قبیل روشهای جداسازی متغیرها، تبدیلات انتگرالی، تغییر مختصات، تغییر متغییر وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش این روشها زمانی مشخص تر میشود که برای مسایلی بکار بروند که جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی‌شان مستقیما قابل محاسبه نباشد. این ارزش در صورت توانایی بکارگیری روش برای دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غیرخطی، دوچندان میشود.

در ریاضیات کاربردی عبارتند از همگرایی، پایدار علمی، سازگاری و خوشحالی عددی آنها. سه دسته مجزا برای این روشهای حل غیرتحلیلی میتوان در نظر گرفت: روشهای تغییراتی، روشهای بسطی و روشهای علمی. در روشهای تغییراتی معادلات دیفرانسیل مسئله را بهمراه شرایط اولیه- مرزی آن بیک مسئله مینیمم سازی تابعکی مناسب در یک فضای تابعی تبدیل کرده و با حل این مسئله بهینه سازی جواب مسئله اصلی را بدست میاوریم. مهمترین مشکل چنین روشهایی تعریف مناسب تابعکهای مورد نیاز میباشد.

در روشهای بسطی (طیفی و شبه طیفی) مانند روشهای هم محلی و گالرکین یا روشهای سری فوریه، سری وزنوله متناهی جواب تقریبی مسئله را بکمک یک دسته از توابع پایه ای (چندجمله ایهای متعامد) در نظر گرفته و با تحویل مسئله اصلی بیک دستگاه معادلات (خطی) ضرایب مجهول سری مذکور را بدست میاوریم مهمترین مشکلات این روشها نحوه انتخاب توابع پایه ای و چگونگی محاسبه ضرایب مجهول، میباشد.

تا اینجا روشهای مزبور همگی بدون مش میباشند. در مقابل، روشهای علمی طبق معمول بر پایه گستر سازی دامنه تعریف مسئله به تعدای المان، محلی بوسیله یک مجموعه از پیش تعیین شده و متناهی از نقاط گرهی بنام مش، استوار هستند و جواب را در این مجموعه متناهی از نقاط بدست میدهند.

مهمترین مشکلات چنین روشهایی عبارتست از اسلوب المان، خواص حل کننده اصلی و محاسبات مربوط به تولید مش. از میان روشهای علمی برای حل مسایل مقدار اولیه- مرزی معادلات دیفرانسیل جزئی، مشهورترینشان روشهای تفاضلات، المان محدود، حجم محدود و المان مرزی میباشند.

اکثر کارهای پیشین در حل مسایل مقدار اولیه امرزی معادلات دیفرانسیل جزئی در یک دامنه ابر مکعبی بکمک شبکه های عصبی پیشخور، به اصل جایگذاری تقریب تابع جواب که بوسیله خواص تقریب زنندگی شبکه های عصبی مصنوعی بدست آورده است، در معادلات (و شرایط اولیه امرزی) مسئله، استوار میباشند.

از اولین موارد چنین کاربردی را میتوان در یافت. که در اولی معادله خطی پواسون با نرم خطای چهار رقم اعشار و نیز معادله گرمای غیرخطی، حل شده است و دومی نیز شامل حل عددی دو مسئله مرتبه دو بیضوی تا شش رقم اعشار دقت میباشد.

در سال 1998 لاگاریس و دیگران در با تعمیم و تدقیق اصل مذکور در با روش بدون مش به حل مسایل غیر خطی مرتبه دو با شرایط مرزی مخلوط (دیریکله و نویمان) تا دقت حدود هفت رقم اعشار در رژیمی علمی مبادرت ورزیده اند.

حاوی کاربردی از شبکه های عصبی مصنوعی پیشخور برای حل علمی نوع خاص از معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه اول است. معادله هامیلتون- ژاکوبس- بلمن که مرتبه اول و غیر خطیست در و با کمک یک شبکه عصبی مصنوعی سه لایه حل گردیده است و در نیز مسئله مرتبه دو یک بعدی (وابسته به زمان) جریان غیرثابت آبهای زیرزمینی، بکمک شبکه های عصبی و الگوریتمهای ژنتیک حل شده است. در شاهد حل علمی شبکه گرمای کنترل شده با سه رقم اعشار دقت، بکمک شبکه های عصبی سه لایه و پیشخور هستیم.

در سال 2003 حسن علی و دیگران در بر مبنای کار مسئله معادله دوبعدی مربع را تا شش رقم اعشار و مسئله معادله نوسان طولی میله ای با دو سه ثابت را تا پنج رقم اعشار دقت در یک رژیم عصبی حل کرده اند. و اخیراً در به حل علمی معادلات یک بعدی کوراموتو- سرواشینسکی (وابسته به زمان) و معادلات دو بعدی ناویه- استوکس، بوسیله شبکه های عصبی مصنوعی پرداخته شده است. و سرانجام، سابقاً با کاربرد روش جدید خود برای حل مسایل مقدار اولیه و مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مراتب بالا و غیرخطی، به حل مسایل نمونه (تا مرتبه چهار) با دقت پنج رقم اعشار پرداخته ایم.

در این مقاله، روش جدیدی و کالا برای حل مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته بزمان در کاملترین حالت و در دامنه ای ابرمکعبی سیلندری ارائه میدهیم. روش ما در واقع تعمیمی قوی و کارا از روشهای طیفی می باشد، بدین معنا که جواب آزمون عصبی، شامل ضرایب کنترل کننده دقت در مخرج کسرهایی بعنوان توابع شبه پایدار میباشد. ما با استفاده از روشهای تقریب توابع بکمک شبکه های عصبی مصنوعی، نیاز به گسسته سازی دامنه را برطرف میکنیم، یعنی روش ما مش- فری بوده و تنها از مجموعه نقاط دلخواهی برای هم محلی و آموزش شبکه عصبی استفاده میکند. بعبارت دیگر، چنانچه خواهیم دید، مسئله را از زاویه دیگری میبینیم و در رژیم عصبی برای حل یک مسئله مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی، شبکه عصبی چند لایه و پیشخور را بعنوان المان تقریب پایه ای (سریر متناهی از ترکیب خطی توابع شبه پایه ای) در نظر گرفته و با توجه به خواص تقریب زدن توابع چند متغیر، در این نوع شبکه ها، جواب تقریبی (آزمون) مسئله را بصورت مجموع دو قسمت مینویسیم: قسمت اول، جواب آزمون را مجبور می کند که در شرایط مسئله صدق نماید و قسمت دوم را که شامل یک شبکه عصبی چند لایه و پیشخوار است، بکمک روشهای بهینه سازی نامتغیر چند متغیره برای صدق در دستگاه معادلات دیفرانسیل مسئله آموزش میدهیم تا مقادیر بهینه پارامترهای شبکه برای مینیمم سازی یک تابع خطای مناسب بدست آید. این مقادیر بهینه پارامترهای شبکه برای مینیمم سازی یک تابع خطای مناسب بدست آید. این مقادیر همان ضرایب تعیین کننده جواب تقریبی مسئله بصورت سری متناهی ‌ای از توابع شبه پایداری، میباشند. از مهمترین مزایای این روش جدید عبارتست از: امکان کاربرد عالی روش برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته بزمان، عمومیت این روش در حل مسایل مراتب بالا و غیرخطی، تعیین جواب تقریبی مسایل بصورت فرم بسته تحلیلی (همه جا از هر مرتبه مشتقپذیر) که براحتی قابل بکارگیری در کاربردهای دیگر میباشد، سروکار داشتن با تعداد پارمترهای متنوع در مقایسه با سایر روشها، قابلیت کاربرد روش برای  حل مسایل مقدار اولیه و مرزی معادلات دیفرانسیل معمولی، فراغت روش از هرگونهه محدودیتهای رایج در روشهای مرسوم مانند دستگاههای خطی بدست آمده در روشهای بسطی و یا لزوم برقراری رابطه ای خاص میان طول گام در ابعاد مختلف، در روش تفاضلات متناهی و . . . )، قابلیت پردازش موازی موجود در روشهای شبکه های عصبی مصنوعی و امکان پیاده سازی سخت افزاری روش در قالب تراشه های عصبی که در مورد آخر نشاندهنده پیاده سازی سلولهای عصبی بمنظور حل علمی معادلات دیفرانسیل جزئی و نیز بیانگر نوعی پیاده سازی پرس مبنای روشهای موجود در بر روی یک دستگاه پنتیوم 3، 733 مگاهرتز برای حل علمی معادله پواسون میباشد.