-1-مقدمه :
بطورکلی یک مسأله مقدار مرزی بصورت زیر می باشد :
(معادله درفایل اصلی موجود است) (1-1)
که در آن L یک عملگر دیفرانسیلی مرتبه m ام ، r یک تابع مفروض و شرایط مرزی می باشند . فرض کنید x یک متغیر مستقل برای مسأله مقدار مرزی باشد و شرایط مرزی در دو نقطه (مرزها) باشد بنابراین رابطه
(1-1) را می توانیم به فرم خطی زیر نیز بنویسیم :
(1-2)(معادله درفایل اصلی موجود است)
برای ، k تا شرط مرزی مستقل خطی که تنها شامل مشتقات تا مرتبه (q-1)ام می باشند را شرایط مرزی essential (اساسی) می گوئیم . و () شرط باقیمانده را شرایط مرزی Suppressible می نامیم . ساده ترین مسأله مقدار مرزی که با معادله دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد بصورت زیر است :
(1-3) (معادله درفایل اصلی موجود است)
با یکی از سه نوع شرایط مرزی که در زیر داده شده اند :
شرایط مرزی نوع اول
شرایط مرزی نوع دوم
شرایط مرزی نوع سوم که گاهی شرایط مرزی Sturm's نامیده می شود :
بطوریکه و و و ثابتهای مثبت می باشند .
اگر در رابطه (1-1) ، معادله دیفرانسیل همگن نامیده می شود و همچنین بطور مشابه اگر در رابطه (1-2) ها آنگاه شرایط مرزی همگن نامیده می شوند .
بنابراین مسأله مقدار مرزی همگن نامیده می شود اگر معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی همگن باشند یک مسأله مقدار مرزی همگن ( و ) تنها دارای جواب بدیهی می باشد .
بنابراین ما آن دسته از مسائل مقدار مرزی را در نظر می گیریم که اگر یک پارامتر را در معادله دیفرانسیل یا در شرایط مرزی اثر دهیم بتوانیم آن را مشخص کنیم (به این ها مقادیر ویژه گفته می شود) در این صورت مسأله مقدار مرزی جواب غیربدیهی دارد و به این جوابها توابع ویژه می گوئیم .
در مسائل مقدار مرزی ثابتهای دلخواه در جواب از روی شرایط مرزی که در بیشتر از یک نقطه باشند بدست می آید . بنابراین امکان دارد که بیشتر از یک جواب داشته باشیم یا هیچ جوابی نداشته باشیم .
قضیه (1-1-1) : مسأله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید :
و فرض کنید که f در ناحیه R پیوسته می باشد .
,(معادله درفایل اصلی موجود است)
همچنین f در شرط لیپ شیتز صدق می کند یعنی :
برای هر(معادله درفایل اصلی موجود است)
در مجموع فرض کنید f در ناحیه R در شرایط زیر صدق می کند :
( ثابت) و همچنین برای شرایط مرزی مسأله فرض کنید :
آنگاه مسأله مقدار مرزی (BVP) داده شده یک جواب منحصر بفرد دارد . [2]
1-2-وجود و یکتایی جواب مسائل مقدار مرزی :
مسأله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید :
(1-4) (معادله درفایل اصلی موجود است)
(1-5) (معادله درفایل اصلی موجود است)
پارامترهای k و 2 یا ثابت می باشند .
فرض کنید :
رابطه (1-4)را با عملگر دیفرانسیلی بالا به صورت می‌توان‌نوشت.
نتایج و قضایایی که در زیر می آوریم اساسی ترین نتایج می باشند :
قضیه (1-2-1) : فرض کنید هر گاه ثابت k درنامساویهای زیر صدق کند :
(1-6)(معادله درفایل اصلی موجود است)
اگر (معادله درفایل اصلی موجود است)
اگر
بطوریکه کوچکترین صفر مثبت توابع بسل می باشد .
آنگاه مسأله مقدار مرزی (1-4) و (1-5) دارای یک جواب منحصر بفرد u(x) است . [12]
(معادله درفایل اصلی موجود است)
نتیجه (1-2-2) : فرض کنید و و و . آنگاه برای هر داریم .