یک معادله دیفرانسیل معمولی هست رابطه‌ای بین یک تابع و مشتقل های آن و متغیرهای مستقل که به آنها بستگی دارند، فرم کلی از یک معادله دیفرانسیل معمولی عبارتست از (6.1) وقتی که تا مشتق مرتبه m ام تابع y موجود باشد، همچنین y و مشتقاتش تابعی از متغیر مستقل t خواهند بود، مرتبه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از مرتبه بزرگترین مشتق موجود در آن، و درجه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از درجه مشتق از مرتبه بالا که با دیگر مشتقات رابطه دارد.
اگر بین تابع متغیر y(t) با خودش و یا هر یک از مشتقاتش نتوان رابطه‌ی دقیق را بدست آورد. معادله به یک معادله خطی تبدیل می شود، فرم کلی یک معادله دیفرانسیل خطی از مرتبه m عبارتست از (6.2) که هر کدام از ها توابع شناخته شده ای هستند:
اگر معادله دیفرانسیل غیر خطی (6.1) از مرتبه m را بتوان به فرم (6.3) درآورد آن گاه معادله (6.3) نامیده می‌شود یک تابع اولیه از معادله دیفرانسیل (6.1) . به این فرم که بالاترین مرتبه مشتق عبارتست از رابطه‌ای بین مشتقات از مرتبه پایین‌تر و متغیرهای مستقل.
«مسائل مقدار اولیه»
یک راه حل عمومی برای یک معادل دیفرانسیل عادی مانند (6.1) هست یک رابطه‌ای بین y و t و m مقادیر دلخواه ثابت، که معادله را مورد قبول قرار می‌دهند در حالی که محتوی مشتقات نمی شود. این راه حل شاید یک رابطه ضمنی به فرم (6.4) یا یک تابع صریح برحسب t به فرم (6.5) باشد.
این m مقادیر دلخواه ثابت می تواند تعیین شود بوسیله شرایط m گانه به فرم (6.6)
در ابتدا نامیده می شود شرایط اولیه؛ نقطه نامیده می شود نقطه اولیه. معادله دیفرانسیل (6.1) به همراه شرایط اولیه موجود در (6.6) نامیده می شود یک مسأله مقدار اولیه.
اگر این m شرایط تعیین شده باشند بوسیله بیشتر از یک نقطه که تعیین کرده‌اند m مقادیر ثابت دلخواه در راه حل عمومی (6.4) در این صورت نامیده می شود شرایط مرزی (کرانی)، معادله دیفرانسیل (6.1) به همراه شرایط مرزی شناخته شده است به عنوان یک مسأله مقدار مرزی.
یک معادله دیفرانسیل (6.3) با شرایط اولیه (6.6) شاید نوشته شود به عنوان یک سیستم معادل (هم ارز) از یک معادله دیفرانسیل مقادیر اولیه به فرم زیر:
(معادله در فایل اصلی موجود است)
که در نشانه گذاری (نمادسازی) برداری شده اند.
که و
بنابراین، روش های حل مسأله مقدار اولیه ابتدایی (6.8) و شاید کاربرد داشته باشد در حل مسائل مقدار اولیه (6. و مسأله مقدار اولیه (6.3) .
(معادله در فایل اصلی موجود است)
مثال (6.1) : تبدیل کنید مسأله مقدار اولیه مرتبه دوم زیر را به مسائل مقدار اولیه مرتبه اول (؟)
؛ (معادله در فایل اصلی موجود است)
حل. قرار می دهیم:
بنابراین: و . و
و
و
و و
و و (معادله در فایل اصلی موجود است)
مثال (6.2) تبدیل کنید سیستم زیر را از دو معادله مرتبه 3 به یک سیستم با شش معادله مرتبه 1 .
؛
؛(معادله در فایل اصلی موجود است)
حل. جانشین های زیر را پدید می آوریم:
قضیه وجود و یگانگی:
وجود و یگانگی جواب مسأله مقدار اولیه (6.8) بوسیله قضیه‌ی زیر تضمین می شود:
قضیه (6.1) : تابع f(t,u) تحت شرایط زیر را در نظر می گیریم:
(i) f(t,u) یک تابع حقیقی است؛
(ii) برای هر و ؛ تابع f(t,u) پیوسته و تعریف شده است؛
(iii) برای هر و هر : به طوری که L ثابت لیپ شینز نامیده می شود.
در این صورت برای هر ، مسأله مقدار اولیه (6.8) جواب منحصر به فرد برای را دارد.
سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت
یک سیستم خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت به فرم زیر را در نظر می‌گیریم.
(6.18) (معادله در فایل اصلی موجود است)
به طوری که ؛ یک ماتریس مربعی ثابت بوده و b(t) یک بردار m بعدی می باشد، راه حل کلی (6.18) می تواند به فرم زیر نوشته شود:
(6.19) (معادله در فایل اصلی موجود است)
به طوری که ماتریس A با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه متناظر با آنها می باشد. تابع یک جواب خصوصی معادله (6.18) می باشد.
معادله ماتریسی (6.18) می تواند با به کار بردن تبدیلات مشابه ناهمبسته شود.
اگر ماتریس متناظر بردارهای ویژه باشد، قرار دهید سپس:
(6.20) (معادله در فایل اصلی موجود است)
با ضرب ماتریس معکوس بدست می آوریم:
(معادله در فایل اصلی موجود است)
(6.21)
به طوری که و هست یک ماتریس قطری با عناصر روی قطر .
معادله (6.21) یک سیستم نزولی برای جواب های بدست می‌دهد.
جواب (6.21) به فرم زیر است:
(معادله در فایل اصلی موجود است)
قضیه (6.2) (پایستگی). جواب دستگاه (6.18) با b(t)=0 به صورت ثابت خوانده می شود. هر گاه اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه ماتریس A دارای بخش حقیقی منفی باشند.
مثال (6.3) . جواب سیستم معادلات زیر را پیدا کنید به طوری که و .
حل. جواب این دستگاه معادلات می تواند بوسیله پیدا کردن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس A بدست آید:
معادله مشخصه A عبارتست از:
(معادله در فایل اصلی موجود است)
لذا مقادیر ویژه عبارتست از .
برای ، داریم: (معادله در فایل اصلی موجود است)
بردار ویژه متناظر عبارتست از .
برای ، داریم: (معادله در فایل اصلی موجود است)
بردار ویژه متناظر عبارتست از