شیب خط مماس در روش لایپ نیتز (خط )
مشتق یکی از دو مفهوم اصلی حسابان است که مقدار تغییرات لحظه‌ای تابع را نشان می‌دهد.
تعریف
مشتق تابعی مانند f، تابع 'f است که مقدارش در x با معادله‌ی زیر تعریف می‌شود:
به شرطی که این حد موجود باشد.
بر طبق این تعریف مشتق مقدار تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات به صفر میل می‌کند.
نحوه‌ی نمایش
مشتق اول یک تابع تک متغیره را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:
f'(x)
f(1)
که این نحوه‌ی نمایش را نمایش دیفرانسیلی مشتق می‌نامند.
تاریخچه
مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایبنیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظه‌ای را به کمک قوانین حد گیری و لایبنیتز شیب خط مماس بر منحنی ها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.
مشتقات مراتب بالاتر
مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آیند. با مشتق گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب دیگر مشتق‌های مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند.
نحوه‌ی نمایش
مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را می‌توان به دو صورت زیر نمایش داد:
f'' و f''' و f''''
f(2) و f(3) و f(4)
[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه
اگر مشتق تابع f در نقطه‌ای مانند x موجود و معین باشد، گفته می‌شود که تابع f در نقطه‌ی x مشتق‌پذیر است.
تابع مشتق‌پذیر
اگر تابعی در هر نقطه از دامنه‌اش مشتق‌پذیر باشد، تابع مشتق‌پذیر نامیده می‌شود.
شرایط مشتق پذیری
برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x مشتق‌پذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد. البته این شرط لازم برای مشتق پذیری تابع در یک نقطه است.برای مثال در حالت های زیر تابع در نقطه a پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست 1نقطه بازگشتی مشتق بینهایت می‌شود 2نقطه زاویه دار مشتق چپ و راست برابر نیست
کاربردها
پیدا کردن شیب خط
پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط (y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویه‌ای می‌گویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود باشد، خط قائم بر منحنی می‌نامیم. بنابراین اگر m≠0 = -1 از مشتق شیب خط قائم بر منحنی باشد، آنگاه داریم: m.mشیب خط مماس و m می‌توان در ساختن جامدادی ، وسایل نظامی ، در ساختن قطب نما و غیره استفاده کرد یعنی می‌توان با استفاده از مشتق شیب مثلاً جامدادی را محاسبه کنیم. مثلاً در ساختن دیدبانی می‌توان از ضریب زاویه‌ای استفاده کرد. در صورتی که شیب در نقطه n مساوی صفر باشد آنگاه مماس بر منحنی در این نقطه، خطی افقی یا موازی محور x است. بنابراین خط قائم بر منحنی در این نقطه، خطی عمودی یا موازی محور y خواهد بد و داریم: ∞ = (a(m
محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری
با استفاده از مشتق می‌توان مقدار تغییرات یک کمیت را نسبت به کمیت معین دیگری، وقتی این دو کمیت به وسیله تابعی به هم مربوط هستند، به دست آورد. مثلاً اگر (g(r مساحت دایره‌ای به شعاع r باشد، داریم: g(r) = π r2 آنگاه مقدار لحظه‌ای تغییر (r) = 2πr مقدار لحظه‌ای تغییر مساحتمساخت دایره نسبت به شعاع آن برابر است با g (1) = 2πاین دایره، وقتی شعاع آن برابر مقداری مثل r=1 باشد، برابر است با: g
پیدا کردن شتاب
اگر (S(t معادله حرکت جسم متحرک باشد آنگاه V را متوسط سرعت در یک فاصله زمانی می‌گویند. اگر از سرعت متوسط مشتق بگیریم مقدار شتاب حرکت بدست می‌آید. که شتاب را (t)=S"(tبا (a(t نشان می‌دهند یعنی شتاب در لحظه t می‌باشد. (a(t)=V
محاسبه انرژی جنبشی
می‌دانیم انرژی جنبشی جسمی به جرم m و سرعت V عبارت است از 2/(m.v^2) برای بدست آوردن انرژی جنبشی می‌توان سرعت را از طریق گرفتن مشتق از معادله حرکت بدست آورد سپس مقدار V را در معادله انرژی جنبشی قرار داد.
پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع
اگر تابعی در یک نقطه از یک بازه اکسترمم نسبی داشته باشد و مشتق تابع نیز در آن نقطه وجود داشته باشد آنگاه مشتق تابع در آن نقطه مساوی صفر است. منظور از اکسترمم نسبی داشتن ماکزیمم یا مینیمم نسبی در یک نقطه است. ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی به صورت زیر تعریف می‌شوند:
تابع f در نقطه d یک "ماکزیمم نسبی" دارد هر گاه (f(d)≥f(x تابع f در نقطه C یک "مینیمم نسبی" دارد هر گاه (f(c)≤f(x
پیدا کردن تابع صعودی و نزولی
اگر برای همه مقادیر (xε(a,b داشته باشیم:
اگر مشتق f بزرگ‌تر از صفر باشد آنگاه f تابعی صعودی است. اگر مشتق f کوچک‌تر از صفر باشد آنگاه f تابعی نزولی است.
تعیین نقاط بحرانی توابع
نقطه C از قلمرو f را یک نقطه بحرانی f می‌نامیم، در صورتی که یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: 1- مشتق f در نقطه c وجود نداشته باشد. 2- مشتق f در نقطه C مساوی صفر باشد.
(c)=0,f باشد، داریم: اگر مشتق مرتبه دوم f درفرض کنید C یک نقطه بحرانی تابع f نقطه C کوچک‌تر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C ماکزیمم نسبی دارد. اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگ‌تر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C مینیمم نسبی دارد.
پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف