تحقیق مقاله سپیده دم ریاضیات جدید

لگاریتم:

همچنانکه امروزه می دانیم قدرت لگاریتم به عنوان یک ابزار محاسباتی در این حقیقت نهفته است که ضرب و تقسیم به کمک آن به اعمال ساده تر جمع و تفریق تحویل می شوند.

نشانه ای از این ایده در فرمول  که در زمان نپر کاملاً شناخته شده بوده پیدا شد و کاملاً محتمل است که خط فکری نپر با این فرمول شروع شده است چه در غیر این صورت تعیین محدود کردن لگاریتمها به لگاریتم سینوس زوایا توسط وی مشکل است. نپر حداقل به مدت 20 سال بر روی نظریه خودکار کار کرد و منشاء اندیشه هر چه باشد، تعریف نهایی او از لگاریتم چنین است پاره خطی مانند AB و نیمه خطی مانند DE، به صورتی که در شکل 1 نشان داده شده در نظر بگیرید.

فرض کنید که نقاط F,C همزمان بترتیب از نقاط B,A در امتداد این خطوط با سرعت ادامه واحدی شروع به حرکت نمایند. فرض کنید C با سرعتی که از نظر عدد برابر با فاصله CB است حرکت کند و سرعت حرکت F یکنواخت باشد در این صورت نپر DF را به عنوان لگاریتم CB تعریف می کند یعنی، با قراردادن CB=y , DF=x.

(شکل در فایل اصلی موجود است)

شکل 1

X=Naplogy

برای احتراز از مزاحمت کسرها نپر طول AB را به  اختیار کرد زیرا بهترین جداول سینوسی که در دسترس وی بود تا هفت رقم اعشار بسط پیدا می کردند. از تعریف نپر و از طریق استفاده از معلوماتی که در دسترس نپر نبود چنین نتیجه می شود که

لذا این بیان مکرر گفته شده که لگاریتمهای نپری لگاریتم های طبیعی هستند در واقع بی اساس است. مشاهده می شود که لگاریتم نپری با افزایش عدد، کاهش می یابد. بر خلاف آنچه در مورد لگاریتم های طبیعی اتفاق می افتد بعلاوه آشکار می شود که، در دوره های مساوی متوالی از زمان، y مطابق یک تصاعد هندسی کاهش پیدا می کند در حالی که x مطابق یک تصاعد حسابی افزایش می یابد.

بنابراین، اصل بینانی دستگاه لگاریتم ها یعنی ارتباط بن یک تصاعد هندسی و یک تصاعد حسابی را داریم حال، برای مثال نتیجه می شود که اگر آنگاه:

Naploga –Naplogb=Naplogc-Naplgd

که یکی از نتایج متعددی است که به وسیله ی نپر برقرار شده است.

نپر بحث خود درباری لگاریتم ها را رد 1413 در رساله ای تحت عنوان شرح قانون شگف انگیز لگاریتم ها منتشر کرد. این اثر حاوی جدولی است که لگاریتم سینوس زوایا را برای دقیقه های متوالی یک کمان می دهد رساله شرح علاقه فوری و گسترده ای را بر انگیخت و در سال بعد از انتشار آن هنری بریگز (1561-1631) استاده هندسه در کالج گرشام در لندن و بعداً استاد در آکسفورد به ادینبورو سفر کرد تا مراتب احترام خود را به مخترع کبیر لگاریتم ها ادامه کند. در ضمن این ملاقات بود که نپر و بریگنیر به این توافق رسیدند که جداوال در چنان تبدیل که لگاریتم 1 ماه و لگاریتم 10 هر توان مناسبی از 10 می شود مفیدتر خواهد بود بدین ترتیب لگاریتم امروزی بریگزی یا متعارفی تکوین یافت این گونه لگاریتم ها، که اساساً لگاریتم های در مبنای 10 می باشند کارآیی برتر خود را در محاسبات عددی مرهون این حقیقت هستند که دستگاه شمار مانیز در مبنای 10 است. برای دستگاه شماری که پایه دیگری مانند  b داشته باشد، البته، به منظور محاسبات عددی مناسبتر خواهد بود که جداول لگاریتم نیز در مبنای b باشند.

بریگز همه ی توان خود را در راه ساختن جدولی بر پایه طرح جدید وقف کرد و در 1624 حساب لگاریتم خود را که شامل یک جدول 14 رقمی از اعداد از 1 تا 20000 و از 90000 تا 100000 بود منتشر کرد. مشکاف از 20000 تا 50000 بعداً به کمک آدریان ولاک (1600-1666) کتاب فروش و ناشر هلندی پر شد در 1620 ادمونه گانته (1581-1626) یکی از همکاران بریگز، یک جدول هفت رقمی از لگاریتم های متعارفی سینوس و تانژانت زوایا برای فواصل قوسی یک دقیقه منتشر نمود. گانته بود که واژه های کسینوس و کتانژانت را ابداع کرد، مهندسان وی را به خاطر «زنجیر گانته» شناختند.

بریگز و ولاک چهار جدول بنیادی لگاریتم ها را منتشر نمودند که تنها در همین اواخر وقتی، در بین 1924 و 1949 جداوال جامع 20 رقمی در انگلستان به عنوان جزئی از جشن سیصدمین سال کشف لگاریتم محاسبه شد کنار گذاشته شدند.

کلمه لگاریتم به معنی «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنکه بدواً از اصطلاح عدد ساختگی استفاده کرد اتخاذ گردید. بریگز کلمه ی مانیتس را که کلمه لاتینی از ریشه اتروسکی است، معمول کرد که در اصل به معنی «جمع» یا «پارسنگ» بوده و در ولاک به کار افت عجیب است که در جدول اولیه لگاریتم های متعارفی رسم این بود که مانیتس را نیز مانند مفسر چاپ کنند، و از قرن هجدهم به بعد هم بود که رسم فعلی چاپ، مانتیسها به تنهایی، متداول گردید.

اختراع شگفت انگیز پز بگرمی در سرتاسر اروپا مورد استقبال واقع شد. در نجوم بویژه زبان برای چنان اکتشافی بسیار آماده بود بنابه اظهار لاپلاس، اختراع لگاریتم ها «با کوتاه کردن زحمات، عمر منجمین را دو برابر کرد» بونانتوراکاوالیری تلاش زیادی برای متداول نمودن لگاریتم ها در ایتالیا به عمل آورد. خدمت مشابهی را یوهان کپکر در آلمان و ادموند وینگبیت درفرانسه انجام دادند. وینگیبت، که سالها زیادی را در فرانسه گذارند به صورت برجسته ترین نویسنده انگلیسی کتابهای درسی در حساب مقدماتی درآمد.

تنها رقیب نپر در پیشقدمی در اختراع لگاریتم یوبت بورگی (1552-1632) ابزار ساز سویسی بود بورگی جدولی از لگاریتم های را مستقل از نپر به تصور درآورده و آنرا ساخت و نتایج کارهای خود را در 1620 شش سال بعد از اینکه نپر کشف خود را به جهانیان اعلام کرده بود منتشر نمود. گر چه هر دوی آنان ایده لگاریتم را مدتها قبل از انتشار در ذهن پروانده بود عموماً اعتقاد بر این است که این ایده اول بار به ذهن نپر راه یافته بود. روش نپر هندسی بود در حالی که روش بورگی جبری بود امروزه لگاریتم به عنوان یک نما تلقی می شود مثلاً اگر  را لگاریتم b گوییم. از این تعریف، قوانین لگاریتم بلافاصله پیش از به کاربردن نماهات. در سال 1971 نیکاراکوئه یک سری تمبر پستی در اکرام از «ده تا از مهمترین فرمولهای ریاضی» دنیا منتشر نمود. طرح هر تمبر یک فرمول ویژه تاریخی همراه با یک تصویر است  در پشت آن گفتار کوتاهی به زبان اسپانیایی در رابطه با اهمیت این فرمول آمده است. یکی از تمبرها به کشف لگاریتم به دت نپر اختصاص داده شده است. برای دانشمندان «ریاضیدانان باید اسباب خوشحالی باشد که فرمولهای خود را در این گونه مورد بزرگداشت ببیند. زیرا این فرمولها سهمی بس بیشتر از کارهای شاهان و فرماندهان نظامی در پیشرفت بشریت داشته اند و تمبرهایی پستی اغلب سیمای اینان را در بر دارد.

سالها بود که محاسبه لگارتیم در دروس ریاضی اواخر دبیرستان یا اوایل کالج درس داده می شود و همچنین طی سالها خط کش محاسبه لگاریتمی که در قالب چرمی زیبایی از کمر آویخته می شد. نشان تشخیص دانشجویان مهندسی دانشگاه ها بود. با این حال، امروزه با ظهور ماشین حسابهای جیبی کوچک جالب و با قیمت های رو به کاهش، کسی استفاده از جدول لگاریتم یا خط کش محاسبه را در محاسبات عاقلانه نخواهد داشت. تدریس لگاریتمی به عنوان یک ریشه محاسبه از مدارس رفت بر می بندد، سازندگان مشهور خط کش ها محاسبه دقیق به قطع تولید پرداخته اند و کتابها دستیهای جداول ریاضی مهم و فکر کنار گذاشتن جداول لگاریتمی اند.

محصولات اختراع برزگ نیز بدل به اشیایی در خود موزه ها شده اند مع هذا، تابع لگاریتمی به این دلیل ساده که تغییرات لگاریتمی و نمایی مرز اجزاء حیاتی طبیعت و آنالیز است هرگز از بین نخواهد رفت در نتیجه مطالعه خواص توابع لگاریتمی و معکوس آن تابع نمایی همواره بخش مهمی از آموز ریاضی باقی خواهند ماند.

معادله های مسئله ای

الف: با استفاده از قواهد آشنای نماها، خواص مفید زیرین را برای لگاریتم ها ثابت کنید:

ب: نشان دهید که

1-  (با این فرمول می توانیم لگاریتم در پایه b را، وقتی که یک جدول لگاریتم در مبنای a در اختیار داشته باشیم، حساب کنیم.

ج: از گرفتن جذر 10، سپس چذر نتیجه بدست آمده ادامه این عمل به همین مقیاس، می توان جدول زیر را ساخت:

با این جدول می توانیم لگاریتم های طبیعی هر عدد بین 1 و 10 و بدین ترتیب با جرح و تعدیل مفسر لگاریتم هر عدد مثبت دلخواه را حساب کنیم. مثلاً فرض کنید N عدد دلخواهی بین 1 و 10 باشد. N را به بزرگترین عدد موجود در جدول که از N بزرگتر نیست، تقسیم کنید فرض کنید که مقسوم علیه و خارج قسمت N1 باشد. در این صورت  باید به همین سوال عمل کنید و فرآیند را ادامه دهید تا

بدست آید. فرض کنید که عمل را زمانی متوقف کنیم که Nn را، کسری با پیکرهای معنی دار فقط از رقم ششم اعشاری به بعد باشد در این صورت تا پنج پیکر اعشاری داریم:

این شیوه به روش ریشه ها برای محاسبه لگاریتم ها موسوم است

را با این شیوه حساب می کنند.

حسابان و مفاهیم وابسته به آن

مقدمه: دیده ایم که ریاضیات جدید و دامنه دار زیادی در تحقیقات ریاضی در قرن فهدم گشوده شدند که این دوره را به صورت دوره پرباری در بسط ریاضیات درآورده اند. بی چون و چرا مهمترین دستاورد ریاضی این دوره ابلاغ حسابان در اواخر قرن توسط آیزک نیوتون و گوتفرید ویلهم لایبنتیز بود. با این ابداع ریاضیات خلاق به طور کلی به درجه پیشرفته ای می رسد و تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساً با آن پایان می یابد. فصل حاضر به رح کوتاهی از مبادی و بسط مفاهیم حسابان اختصاص می یابد، مفاهیمی که چنان کاربرد وسیعی دارندو چنان تاثیری بر دنیای جدید داشته اند که شاید گفتنش درست باشد که بدون آگاهی از آنها انسان بزحمت می تواند ادعای داشتن تحصیلات درست حسابی را داشته باشد. جالب توجه است که بر خلاف ترتیب متداول در ارائه مطاب در دروس مقدماتی دانشگاهی فعلی، که با مشتقگیری شر وع و بعدا به انتگرال گیری می پردازیم مفاهیم حساب انتگرال از لحاظ تاریخی قبل از مفاهیم حساب دیفرانسیل به وجود آمده اند. مفهوم انتگرال گیری ابتدا در نقشی که در یک فرآیند مجموعیابی در رابطه با یافتن بعضی مساحات، اجحام، و طول قوسها داشت، پدیدار شد بعدها، مشتقگیری در رابطه به مسائل مربوط به مماس به منحنیها و سوالاتی درباره ماکزیمم و مینیمومم توابع به وجود آمد. و حتی خیلی بعد از آن بود که ارتباط انتگرال گیری با مشتقگیری به عنوان اعمال معکوس یکدیگر مورد توجه قرار گرفت.

گر چه قسمت عمده گفتار ما به قرن هفدهم مربوط می شود لازم است جهت آغاز مطلب به یونان باستان و قرن پنجم پیش از میلاد بازگردیم.

پارادوکس های زنون

آیا باید پذیرفت که کمیتی بینهایت بار تقسیم پذیر است یا اینکه این کمیت از عده بسیار زیادی اجزای اتمی تقسیم ناپذیر تشیکل شده است؟ فرض اول به نظر بسیاری منطقی تر جلوه می کند اما مفید بودن فرض دوم پیدایش کشفیات بسیاری موجب می شودکه نامعقول بودن ظارهی آن تا حدی از بین می رود. شواهدی در دست است که در یونان باستان، مکاتب استدلال ریاضی بر مبنای هر یک از دو فرض بالا به وجود آمده است.

برخی از اشکالهای منطقی که با هر یک از دو فرض پیش می آیند به طور شگفت انگیزی در قرن پنجم ق . م به کمک چهار پارادوکس که توسط فیلسوف الیایی زنون (حدود 450 ق. م) ابداع شدند آشکار شدند این پارادوکسها که تاثیر شگرفی در ریاضیات داشتند بیان می کنند که خواه فرض کنیم که کمیتی بی نهایت بار تقسیم پذیر است یا از عده بسیار زیادی اجزای اتمی ساخته شده است حرکت غیر ممکن است ما ماهیت این پارادوکسها را با دو  پارادوکس زیر روشن می کنیم

دیکتومی: اگر پاره خط مستقیمی بی نهایت بار تقسیم پذیر باشد آنگاه حرکت غیر ممکن است زیرا برای پیمودن طول پاره خط ابتدا لازم است که به نقطه وسط پاره خط برسیم و برای این کار لازم است تا غیر النهایه نتیجه می شود که حرکت را حتی نمی توان شروع کرد.