برای بررسی حرکت یک جسم ابتدا به تعریف چند کمیت می پردازیم.
بردار مکان و بردار جابه جایی
بردار مکان موقعیت مکانی جسم را در صفحه مختصات نشان می دهد. ابتدای بردار مکان بعداً مختصات و انتهای آن نقطه ای است که جسم در آن واقع شده است.
فرض کنید که یک جسم متحرک در لحظه t1 در نقطه A باشد و در لحظه t2 به نقطه B رسیده باشد. بردار جابه جایی بین دو لحظه t1 و t2 برداری است که ابتدای آن مکان متحرک در لحظه t1 و انتهاب آن مکان متحرک در لحظه t2 باشد
Δr تفاضل r2 و r1 است یعنی r2-r1 = Δr
بردار جابه جاهایی به مسیر حرکت بستگی ندارد و فقط با داشتن دو نقطه (مکان جسم در لحظه t1 و مکان جسم در لحظه t2) رسم می شود.
حرکت روی خط راست
هر گاه راستای حرکت جسم متحرک، یک خط راست باشد در تمام لحظه ها بردار جابه جایی هایی متحرک بر همان راستا خواهد بود. مبدأ هم روی همین راستا انتخاب می شود در این صورت محاسبه بر روی این بردارها به سادگی انجام می گیرد.
نمودار مکان – زمان
این نمودار مکان جسم را در زمانهای مختلف نشان می دهد. غالباً محور افقی زمان و محور قائم مکان جسم را نشان می دهد. با استفاده از این نمودار می توان دریافت که متحرک در هر لحظه در چه مکانی قرار دارد و جابه جایی آن بین هر دو لحظه چقدر است.
(نمودار ها در فایل اصلی موجود است)
سرعت متوسط و تعیین آن به کمک نمودار مکان – زمان
تغییر مکان یک جسم تقسیم بر تغییرات زمان را سرعت متوسط می گویند. سرعت متوسط به صورت v نشان داده می شود. سرعت متوسط کمیتی برداری است که با بردار جابه جایی هم جهت است. یکای سرعت متوسط متر بر ثانیه (m/s) می باشد
Δx
Δt
=
جابهجایی
زمانی کهجابه جایی رخ داده
V=
نمودار مکان . زمان یک جسم متحرک نشان داده شده است. سرعت متوسط بین دو نقطه A وB مساوی است با Δx/Δt و در درس ریاضی دیده اید که Δx/Δt همان شیب خط AB است.
سرعت متوسط بین دو نقطه از نوار مکان – زمان برابر شیب خطی است که آن دو نقطه را به هم وصل می کند.
سرعت لحظه ای و تعیین آن به کمک نمودار مکان – زمان
سرعت لحظه ای، سرعت متوسط در هر لحظه از حرکت است. سرعت متوسط در حدی که با ذره ی زمانی Δt فوق العاده کوچک شود، سرعت لحظه ای نامیده می شود. یک بار دیگر نمودار مکان – زمان را در نظر بگیرید. اگر Δt فوق العاده کوچک شود نقطه B خیلی خیلی به A نزدیک می شود و در نهایت خط AB در نقطه A نمودار احساس می شود. سرعت در هر لحظه برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان – زمان در آن لحظه است
انواع حرکت روی خط راست
1)حرکت یکنواخت روی خط راست
هرگاه سرعت لحظه ای متحرکی که بر روی خط راست حرکت می کند در تمام لحظه ها یکسان باشد، حرکت آن حرکت یکنواخت نامیده می شود. در این حرکت نمودار مکان – زمان یک خط راست خواهد بود زیرا شیب خط Δx/Δt تغییر نمی کند.
و سرعت در تمام لحظه ها مساوی با سرعت متوسط خواهد بود.
V = v¯ ===> V = ΔX/Δt
ΔX = V Δt
اگر در لحظه t=0 فاصله متحرک تا مبدأ برابر x0 و در لحظه t برابر x باشد:
(x-x0)= v(t-0)
x = vt + x0 معادله حرکت یکنواخت
نمودار سرعت زمان
با داشتن سرعت در زمانهای مختلف می توانیم این نمودار را رسم کنیم. محور افقی را زمان و محور قائم را سرعت اختیاری می کنیم.
اگر جسم متحرک با سرعت ثابت روی خط راست حرکت کند نمودار سرعت – زمان آن مطابق زیر خواهد بود.
و نمودار مکان – زمان آن مطابق زیر خواهد بود:
) حرکت شتابدار روی خط راست (با شتاب ثابت)
در مواردی که سرعت متحرک تغییر می کند می گوییم حرکت شتابدار یا غیر یکنواخت است. شتاب متوسط برابر تغییر سرعت در واحد زمان است و یکای آن (m/s2) است.
a = Δv/Δt
«شتاب متوسط بین دو لحظه برابر شیب خطی است که نمودار سرعت – زمان را در آن دو لحظه قطع کند.»
شتاب متوسط در حدی که Δt فوق العاده کوچک شود، شتاب لحظه ای نامیده می شود و برابر شیب خط مماس بر نمودار سرعت – زمان در لحظه مورد نظر است.
هرگاه در حرکتی در تمام لحظه ها شتاب یکسان باشد، آن را حرکت با شتاب ثابت می نامیم. در این حالت شتاب متوسط با شتاب لحظه ای برابر است.
a¯= a = Δv/Δt = v2 - v1 / t2 - t1
اگر در این رابطه ۰=t1 و t2 = t اختیار شود وv0 سرعت در لحظه صفر و v سرعت در لحظه t باشد.
a = v - v0 / t
v=at+ v0 معادله حرکت با شتاب ثابت
نمودار سرعت – زمان آن به صورت زیر است:
معادله مکان – زمان در حرکت با شتاب ثابت بر روی خط راست به شکل زیر محاسبه شده است:
X= 1/2 at2 + v0t+ x0
و اگر زمان را از معادله حرکت با شتاب ثابت به دست آوریم و در رابطه بالا جایگزین کنیم رابطه زیر به دست می آید که مستقل از زمان است (یعنی زمان در آن وجود ندارد.)
(v2 - v02 = 2a(x-x0
جمع بردارهای جابه جایی
حاصل جمع دو یا چند برادر را برآیند آن بردارها (یا بردار برآیند) می نامند. برای یافتن برآیند دو بردارa و bمی توانیم از یک نقطه دو بردار برابرa و bرسم کنیم. بردار برآیند قطر متوازی الاضلاعی است که نقطه شروع دو بردار را به رأس مقابل وصل می کند. (قاعده متوازی الاضلاع برای جمع بردارها)
نکته: بردار برآیند از رابطه ی زیر نیز به دست می آید.
(R = √(a2 + b2 + 2abcos
جمع برداری خاصیت جابه جایی دارد یعنی به ترتیب بردارها بستگی ندارد. یک روش دیگر برای جمع دو یا چند بردار این است که از انتهای بردار اول برداری مساوی بردار دوم و از انتهای بردار دوم برداری مساوی بردار سوم و همین طور تا آخر رسم کنیم. بردار برآیند برداری است که ابتدای آن ابتدای بردار اول و انتهای آن انتهای بردار آخر باشد.
مثال:
بردار برآیند بردارهای a و bو c را به دست آورید.
پاسخ:
بردارهای مساویa و bو c را پشت هم رسم می کنیم و ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل می کنیم.
نکته:
اگر دو بردار a و b بر هم عمود باشند. بزرگی بردار برآیند (R) از رابطه زیر به دست می آید:
(R = √(a2 + b2
حاصل ضرب یک عدد در یک بردار
هر گاه عدد m را در یک بردار ضرب کنیم، بزرگی بردار حاصل m برابر بردار اول است.
جهت بردار حاصل ضرب با بردار اولیه یکی است <== 0 >m
بردار حاصل ضرب در خلاف جهت بردار اولیه است <== 0
(یعنی وقتی برداری را در یک عدد مثبت ضرب می کنیم فقط بزرگی آن تغییر می کند؛ ولی وقتی در یک عدد منفی ضرب می کنیم جهت آن نیز تغییر می کند.)