تحقیق مقاله دستورهای مثلثاتی

واژه "مثلثات " از"مثلث " آمده است وترجمه ای است ازواژه ای فرانسوی هم ارزآن ،که به معنای "اندازه گیری مثلث " است. درزبان فارسی ،به جای "مثلثات"،ازواژه "سه بروارگانت" استفاده کرده اند.ازنام گذاری "مثلثات " می توان حدس زدکه ،این شاخه ازریاضیات ،دست کم درآغازپیدایش خود،به نحوی با"مثلث" ومساله های مربوط به مثلث بستگی داشته است.درواقع ،پیدایش وپیشرفت مثلثات را،بایدنتیجه ای ازتلاش های ریاضی دانان ،درجهت رفع دشواری های مربوط به محاسبه هایی دانست که ،درهندسه ودر اخترشناسی باآن روبه رو می شدهاندوبیشترجنبه محاسبه ای داشته اند.ریاضی دانان یونانی ، بیشتربه هندسه توجه داشتندوکمتربه محاسبه می پرداختند.دراخترشناسی ،برای تعیین جاوموقعیت ستارگان ،فاصله های آن هاازیکدیگروسایرویژگی های آن ها،به عددنیازداشتند،ولی درراه حل هندسی،پاسخ راازجمله به صورت یک پاره خط راست به ما می دهدو،درنتیجه ،کاراخترشناسان رادشوار می کرد.نمونه ای ازهندسه بیاوریم .فرض کنیم، از مثلث ABC ،زاویه هایB,A  وطول ضلع AB داده شده باشد.چگومه می توانیم طول هریک ازضلع های     Bc و       AC   راپیداکنیم؟درهندسه،راهی شاده برای رسم این مثلث وجودداردو،درنتیجه،ضلع های  BC  و    AC به صورت پاره خط های راستی به دست می آیند.رسم مثلث و،سپس، اندازه گیری طول های دوضلع مجهول رانمی توان بادقت ریاضی به دست آورد،زیرارسم و اندازه گیری به یاری ابزارهایی مثل خط کش ونقاله وپرگارانجام گیرد. هم این ابزارها دقت ریاضی ندارندوچشم مااشتباه می کند.برای پیداکردن پاسخ دقیق ، محاسبه لازم است واین محاسبه ،درحالت کلی نیازبه مثلثات دارد.سعی کنیم ،این مساله راحل کنیم .ولی پیش ازآن باید دستورمثلثاتی مربوط به آن راپیداکنیم.دستورمثلثاتی راباهمان روشی پیدامی کنیم که ، ابوریحان بیرونی ،درهزارسال پیش پیداکرد.درمثلث ABC      ،زاویه هارا A^، B^و  C^وطول ضلع های روبه رو به آن ها را،به ترتیب a وb  وc  می نامیم .به مرکزراس B وبه شعاع برابر واحد،دایره ای رسم می کنیم تاامتدادضلع   BC  رادرD  قطع کند(شکل راببینید).این دایره را، که سعاع آن واحداست،دایره مثلثاتی می گیریم که ،درآن نقطه  D ،مبداکمان هاست .بنابراین ،سینوس کمان   DMیاسینوس زاویه   B،برابرطول پاره خط راست    PM برامتداد   BCعموداست):

شده اند.

دراخترشناسی اغلب به مساله هایی برمی خوریم که برای حل آن ها ،به مثلثات ودستورهای آن نیاز داریم. ساده ترین این مساله ها، پیداکردن یک کمان دایره(برحسب درجه)است ،وقتی که شعاع دایره

وطول وتراین کمان معلوم باشد.یابرعکس ،پیداکردن طول وتری که طول شعاع دایره واندازه کمان معلوم باشد.می دانیدسینوس یک کمان ،ازلحاظ قدرمطلق،برابربانصف طول وتردوبرابرآن کمان است.همین تعریف ساده، اساس رابطه بین کمان هاووترهارادردایره، تشکیل می دهدو،مثلثات هم ،ازهمین جاآغازشد.کهن ترین جدولی که به ما رسیده است و،درآن ،طول وترهای برخی کمان هاداده شده است ،متعلق به هیپارک،اخترشناس سده دوم میلادی است.وشاید بتوان ،تنظیم این جدول هارا،گام نخستین کوچکی،درراه پیدایش مثلثات دانست.منه لائوس ریاضی دانان وبطلمیوس اخترشناس هم(هردو ،درسده دوم میلادی)،دراین زمینه ،نوشته هایی ازخودباقی گذاشته اند.ولی همه کارهای ریاضی دانان واخترشناسان یونانی، دردرون هندسه انجام گرفت وهرگزبه مفهوم های اصلی مثلثات نرسیدند.نخستین گام اصلی به وسیله آریابهاتا، ریاضی دان هندی سده پنجم میلادی برداشته شدکه ،درواقع،تعریفی برای نیم وتریک وتریک کمان (یعنی،همان سینوس) داد....ازاین به بعد،به تقریب همه کارهای مربوط به شکل گیری مثلثات (چه درروی صفحه وچه درروی کره ) به وسیله دانشمندان ایرانی انجام گرفت. خوارزمی (محمد،فرزندموسا) نخستین جدول های سینوسی راتنظیم کردو،پس ازاو،همه ریاضی دانان ایرانی گام هایی درجهت تکمیل این جدول هاوگسترش مفهوم های مثلثاتی برداشتند

مروزی (محمد،فرزندعبدالله)، جدول سینوس هارا30دقیقه به 30 دقیقه (به تقریب)تنظیم کرد و،برای نخستین بار،به دلیل نیازهای اخترشناسی، مفهوم تانژانت را(که ظل می نامیدند) تعریف کرد.جدی ترین تلاش ها،به وسیله ابوریحان بیرونیوابوالوفای بوزجانی(بوزجان ،همان تربت جام امروزی است) انجام گرفت که توانستندپیچیده ترین دستورهای مثلثاتی راپیداکنندوجدول های سینوسی و تانژانتی رابادقت بیشتری تنظیم کنند(ابوالوفا،باروش جالبی، به یاری نابرابری ها،توانست مقدارسینوس کمان 30دقیقه راپیداکند)و،سرانجام ،خواجه نصیرتوسی،باجمع بندی کارهای دانشمندان ایرانی پیش ازخود،نخستین کتاب مستقل مثلثات رانوشت.بعدازتوسی،جمشید کاشانی،ریاضی دان ایرانی زمان تیموریان ،باروش زیبائی که برای حل معادله درجه سوم پیداکرده بود،توانست راهی برای محاسبه شینوس کمان یک درجه –باهردقت دلخواه –پیداکند.پیشرفت بعدی دانش مثلثات ،ازسده پانزدهم میلادی ودراروپای غربی انجام گرفت .

یادداشت.ریاضی دانان ایرانی ،برای سینوس،ازواژه"جیب" (واژه ای عربی به معنای "گریبان") وبرای کسینوس،ازواژه "جیب تمام" استفاده می کردند،وقتی نوشته های ریاضی دانان ایرانی،وبه ویژه خوارزمی،به زبان لاتینی وزبان های اروپایی ترجمه شد،معنای واژه "جیب"(گریبان) رادرزبان خودبه جای آن گذاشتند:سینوس،درزبان فرانسوی،همان معنای جیب رادرزبان عربی دارد.(نخستین ترجمه ازنوشته های ریاضی دانان ایرانی،که درآن ،صحبت ازنسبت های مثلثاتی شده است ،ترجمه ای بودکه درسده دوازدهم میلادی ،به وسیله "گرادوس،کره مونه سیس" ایتالیایی ،ازعربی به لاتینی انجام گرفت و،درآن ،واژه سینوس رابه کاربرد.امادرباره ریشه واژه "جیب"، دودیدگاه وجود دارد: