تحقیق مقاله معادله های درجه اول با یک مجهول

در مصر و بابل باستان ، با مساله هایی آشنا بودند که به حساب مربوط می شد و حل آنها منجر به معادله هایی درجه اول و با یک مجهول می شد . برای نمونه ، در پاپیروس مصری رایند که به دوران 2000 تا 1700 سال پیش از میلاد مربوط می شود ، یک فصل کامل درباره « محاسبه توده » وجود دارد که به این گونه مساله ها منجر می شود .

مساله : « عددی را بیابید ، به شرطی که بدانیم ، اگر به این عدد  آن را اضافه کنیم و از مجموع حاصل ،   این مجموع را کم  کنیم  ،  عدد 10 به دست آید .

مساله با نمادهای امروزی ، منجر به این معادله می شود :

در همین سند ، این معادله ها هم بررسی شده است :

در پایروس مسکو هم ، این گونه مساله ها وجود دارد :

« طول ضلع های اتاقی را بیابید که نسبت ها و در ضمن مساحت اتاق ، معلوم باشد . »

حل مساله  منجر به بررسی دستگاهی با دو معادله و دومجهول می شود .

مردمی هم که در سرزمین بابل زندگی می کردند ، راه حل بسیاری از مساله ها را که منجر به معادله یک مجهولی درجه اول می شود ، می دانشتند . یک مساله بابلی :

« طول    ، عرض              و   مساحت  را جمع کن ، به دست می آید 4250 . طول و عرض را جمع کن بع دست می آید  350 طول و عرض چیست ؟ »

اگر طول را x و عرض را y بگیریم ، مساله منجر به حل دستگاه زیر می شود که حل آن دشوار نیست :

خود مساله تنها پاسخ را داده است   210= x  ، 140= Y

پژوهشگر المانی ، « نیگه باور » درباره یکی از مساله های بابلی می نویسد :

« ... هنوز از نظم هندسی پیروی می شود . ولی محاسبه ، چیزی جز تعیین جبری مجهول ها بر اساس داده ها نیست . محاسبه با ظرافتی فوق العاده و با همان روش امروزی انجام می گیرد . این نشان می دهد ، بابلی ها با روش هایی که بر پایه استفاده از « دستورها  قرار دارند ، آشنا بوده اند .... »

م . یا . ویگودسکی هم درباره مساله دیگری می نویسد :

« می بینیم زیر نقاب یک مساله کاربردی ، پرسش های ذهنی – که در عمل و زندگی پیش نمی آید – طرح شده است ... این وضع ، نشانه آن است که در زمان تنظیم این متن ، به تدریج نظریه انتزاعی ریاضی شکل می گیرد و برای جلب توجه ، از موضوع های مربوط به زندگی ، ولی با ساختارهای ذهنی و مصنوعی ، استفاه شده است .

در یونان باستان ، در سده های نهم تا سوم پیش از  میلاد ، با مفهوم های جبری ومعادله ها کار نداشتند و آنها را با مضمون هندسی خود مطرح و به یاری خط کش و پرگار حل می کردند که در واقع ، منجر به حل یک معادله یک مجهولی درجه اول می شد .

 ریاضیدانان هندی ، موفقیت های زیادی در جبر به دست آوردند . در سال 1881 در « باهشالی » یک کتاب خطی به دست آمد که در آن مساله هایی داده شده است که منجر به حل معادله درجه اول می شود . یکی از این مساله ها را می آوریم .

« از چهار هندی ، دومی  دو برابر اولی بخشید و سومی سه برادر دومی ؛ اما آخری چهار برابر  سومی هدیه داد . هدیه هر چهار نفر روی هم 132 شد . اولی چه قدر هدیه کرده است ؟ »

نویسنده کتاب خطی ، مساله را این طور حل می کند ؛ فرض کنید اولی یک واحد داده باشد ، در این صورت دومی 2 واحد ، سومی 6 واحد و چهارمی 24 واحد داده است . جمع هدیه ها 33 واحد است ؛ در حالی که باید 132 واحد باشد . بنابر این سهم بخشش هر نفر را باید

4 = 33 : 132

برابر بزرگ کنیم . بنابراین بخشش نفر اول 4 واحد بوده است .

در میانه های سده هشتم میلادی ، آریابهاتا ، ریاضیدان و اخترشناس هندی ، کتابی نوشت که بخش دوم آن به « دانش محاسبه » مربوط است . در این جا 33 قاعده آمده است ، که بنا به رسم هندی های آن روزگار ، با شعر بیان شده است . قاعده سی ام به حل این مساله اختصاص دارد :

« دو نفر سرمایه هایی برابر دارند ، که شامل مقدار معلومی شیء و پول است . در ضمن ، تعداد چیزها و مجموع پول ها متفاوت است . ارزش شی ء ها را پیدا کنید . »

X را ارزش چیزها می گیریم . سپس فرض کنید نفر اول a  شی ء و c روپیه داشته باشد و نفر دوم b شی ء و d روپیه . در این صورت ، بنا به شرط مساله ، به دست می آوریم :

خود آزابهاتا با نمادهای حرفی آشنا نبود و نتیجه آخر را با این توضیح به دست می دهد : « ... اختلاف بین عددهای روپیه ای را که متعلق به دو نفر است بر اختلاف تعداد چیزها تقسیم کنید ، خارج قسمت ارش شی ء را می دهد ؛ به شرطی که سرمایه پولی آنها برابر باشد . »

بهاسکارا آهاریا دانشمند دیگر هندی ، جبر را زیر عنوان « محاسبه ریشه ها » طرح می کند ف که در ان جای زیادی را به مساله هایی داده است که سرانجام منجر به معادله درجه اول می شوند ، بهاسکارا برخلاف سنت هندی ها ، نوشته های خود را نه به شعر ، بلکه به نثرآورده است ، به همین مناسبت موضوع های مورد بحث او ، روشنی دیگر ریاضیدانان هندی را ندارد . با وجود این ، اغلب داده های مساله را به صورت معکوس می دهد .

اینک مساله ای از بهاسکرا که حل آن منجر به معادله درجه اول می وشد :

« یک پنجم گروه زنبوران عسل روی گلی نشسته اند ، یکسوم آنها از شهد گلی دیگر استفاده می کنند . سه برابر تفاضل این زنبورها دور و بر درخت گلی می چرخند . یک زنبور باقیمانده  هم به طور دائم از گلی به گل دیگر می رود . حالا زیبای من ، بگو تعداد همه زنبورها چندتاست ؟ »

که از آن جا به دست می آید :

15= X

« دیوفانت » ، بخش بزرگی از کتاب حساب خود را به معادله ها اختصاص داده است . در « گلچی یونانی » که « مترودور » جمع آوری کرده است ، مساه ای وجود دارد که گویا بر سنگ قبر دیوفانت بوده است . این مساله چنین است ( این قطعه به صورت شعر سروده شده است و ما مضمون آن را در این جا آورده ایم ) :

« دیوفانت در این جا به خاک سپرده شده است . سنگ قبربا محاسبه طریفی به ما گواهی می دهد که دیوفانت چه قدر زندگی کرده است . به فرمان پروردگار ، او یک ششم زندگی خود را در کودکی گذراند ؛ دوران جوانی وشادابی او یک دوازدهم زندگی اش را گرفت .

یک هفتم زندگی اش در کنار کانون خانواده اش بود . پنج سال گذشت و خداوند به او پسری داد . ولی طفلک بچه ! پسر به اندازه نیمی از زندگی پدر عمر کرد . چهارسال بعد دیوفانت از این غم سنگین مرد . بگویید خود دیوفانت چند سال عمر کرده است ؟ »

                                      که با حل این معادله ، معلوم می شود که دیوفانت 84 سال زیسته است .

دیوفانت مساله هارا با توجه به عددهای مشخص مفروض حل کرده است ؛ بدون این که از عددها یمنفی و عددهای گنگ آگاه باشد .  همچنین از تقسیم که از تفریق های متوالی استفاده می کند . باید یادآوری کرد که دیوفانت از نمادهای حرفی برا یمجهول و توان های انها استفاده می کرد .

خوارزمی توجه زیادی به معادله های درجه اول داشت و برای حل این گونه معادله ها ، از روش خود « جبر و مقابله » استفاده می کرد . « جبر » و « مقابله » به معنای « جبران کردن » و « مقابل هم قرار دادن » است . این روش را روی مثالی روشن می کنیم .

نظریه حل معادله های درجه اول در سده سیزدهم ، برای اروپاییان هم به تقریب به همین شیوه خوارزمی بود . دلیل این امر این است که ریاضیدانان اروپایی در این زمینه ، دنباله رو ریاضیدانان ایرانی و به طور کل شرقی بودند . برا ینمونه ، فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی سده سیزدهم ‌، در « کتابی درباره حساب » ( 1202 ) از همان روش خوارزمی پیروی می کند.

تکامل بعدی روش های حل معادله درجه اول ، با پیدایش نمادها وساده کردن عمل ها انجام گرفت .

2- چند جمله ای ها

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)