تحقیق مقاله روش حل مسائل

آنالیز عددی  و روش حل مسائل در آن

آنالیز عددی (Numerical analysis) به تنظیم، مطالعه، و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حلّ آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روشهای تحلیلی (analytical) و دقیق قابل حلّ نیستند. برخی از مسائل مورد نظر آنالیز عددی به طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی (بر روی میدان‌های حقیقی یا مختلط) و نیز حلّ معادلات دیفرانسیل خطّی و غیر خطّی مربوط به فیزیک و مهندسی از جملۀ زمینه‌های دیگر برای کاربرد آنالیز عددی‌ست.

روشهای حل مسئله

تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقا با یک الگوریتم حل می‌شوند.که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف اند.برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود،چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.

برآورد خطاها

تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهم‌ترین قسمت‌های آنالیز عددی است این خطاها در روش‌های تکرار شونده وجود دارد چون به هرحال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روش‌های مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می‌آید. در آنالیز عددی می‌توان مقدار خطا را درآخر روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

کاربردها

الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می‌شود، همچنین اکثر ابر رایانه‌ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه ریزی می‌شوند. به طور کلی آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می‌کند.

نرم افزار‌ها

امروزه بیشتر الگوریتم‌ها توسط رایانه اجرا می‌شوند نرم افزارهایی برای اجرای محاسبات ریاضی طراحی شده اند. از مهم‌ترین و کاربردی‌ترین آنها می‌توان به نرم افزارهایی زیر اشاره کرد:

میپل (Maple)

متمتیکا (Mathematica)

جی‌ان‌یو اکتاو (GNU Octave)

متلب (Matlab)

سایلب (Scilab)

زبان برنامه‌نویسی آی‌دی‌ال (IDL)

زبان برنامه‌نویسی آر (R)

برنامه ریزی خطی و روش سیمپلکس

برنامه ریزی جزئی اساسی از مدیریت در سازمان می باشد ، اما پیش از آن تصمیم گیری درباره چگونگی ترکیب و عملکرد و مشخص کردن اهداف پیش شرطی برای برنامه ریزی در سازمان می باشد . از این جهت یکی از مسائل مهمی که در سازمان باید مورد نوجه مدیران قرار گرفته و در آینده به عنوان یکی از روش های اصلی برای تصمیم گیری مدیران از آن استفاده شود مدل سازی ریاضی از طریق فنون تحقیق در عملیات  (Operational Research ) است . این روش در واقع از طریق طراحی مدل های ریاضی که به سه صورت احتمالی ، قطعی و یا می باشد این امکان را برای مدیر فراهم می آورند تا با استفاده از این روش علاوه بر تصمیم گیری صحیح در زمان تصمیم گیری با توجه به محدودیت های منابع و با هدف حداکثر کردن سود یا حداقل کردن هزینه یکی از بهترین روش ها برای تخصیص آسان منابع در زمینه های نیروی انسانی و حمل و نقل را فراهم می آورد . را در هر زمان برای سازمان اتخاذ نماید . از ویژگی های این روش نگرش سیستمی به مسائل و بررسی چند رشته ای و بین رشته ای از طریق مدل های ریاضی است . همچنین با توجه به اینکه علم کامپیوتر امروز می تواند کمک موثری در سرعت و دقت تصمیمات مدیریتی ایجاد کند ، برخی کمپانی ها در این زمینه نرم افزار هایی را تولید کرده اند که از مهمترین آنها می توان به نرم افزار های Matlab , QSB , Lindo , Lingo ,DS , Tora , Gaps و ... اشاره نمود . در اینجا به برخی از مفاهیم و بنیان های ریاضی این فن جهت اشنایی بیشتر اشاره می نماییم .

 مفهوم برنامه ریزی خطی :

رده ای یا دسته ای از مدل های برنامه ریزی ریاضی است که مربوط می شود به مناسب ترین ترکیب از منابع محدود به فعالیت های معلوم به منظور دست یابی به هدفی مطلوب . مانند ماکزیمم کردن سود یا مینیمم کردن هزینه .خصوصیت بارز برنامه ریزی خطی این است که در آنها برنامه معرف هدف برنامه ریزی یا محدودیت ها و یا و یا قید و منابع خطی بوده و متغیر ها نیز مجهول هستند . هر تصمیم گیرنده منابعی از قبیل سرمایه یا پول ، نیروی انسانی یا کار ، مواد خام اولیه یا منابع طبیعی ماشین آلات و تجهیزات و تکنولوژی اطلاعات و مدیریت در اختیار دارد کههمگی از لحاظ کمیت و کیفیت محدود می باشند .

 ویژگی های برنامه ریزی خطی :

1-     مشخص بودن تابع هدف به صورت خطی

2-     موجود بودن راه حل های مختلف در برنامه ریزی

3-     مشخص بودن محدودیت های منابع به صورت معادلات یا نامعادلات خطی

4-     موجود بودن روابط ریاضی بین متغیر ها

5-     غیر منفی بودن متغیر ها

مدل عمومی

Max  یا Min z = c1x1 + c2x2 + … + cjxj + … + cnxn تابع هدف

به شرطی که :

A11x1+a12x2…+a1jxj+…+ a1nxn =< b1

A21x1+a22x2…+a2jxj+…+ a2nxn =< b2

Ai1x1+ai2x2…+aijxj+…+ ainxn =< b1i

Am1x1+am2x2…+amjxj+…+ amnxn =< bm

 مدل سازی

برای استفاده از روش برنامه ریزی خطی می بایست ، مدل مورد نیاز برای بهینه سازی بر اساس هدف طراحی نمود . در اینجا نمونه کوچکی از مدل سازی را برررسی می کنیم .

 مثال : یک کارخانه صنایع چوبی دو نوع محصول (میز و صندلی ) تولید می کند برای تولید هر واحد میز و صندلی تصور نمایید به دو نوع مواد اولیه (چوب بلوط و چوب کاج ) و میزان متفاوتی از نیروی انسانی نیاز است . برای تولید هر واحد میز به 5 فوت چوب بلوط و 2 فوت چوب کاج و 2 نفر ساعت نیروی انسانی نیاز است . میزان منابع نیروی انسانی کارخانه در طول هفته 80 نفر ساعت است و ضمناً از چوب بلوط و کاج به ترتیب 150 واحد و 100 واحد در اختیار است . مدیریت کارخانه می خواهد بداند چه تعداد میز و چه تعداد صندلی تولید نماید تا سود او حداکثر شود . با توجه به اینکه سود حاصل از فروش هر میز و صندلی به ترتیب معادل 12 و 8 واحد پول قرار دادی است . مطلوب است فقط مدل سازی مسئله .

       سود آوری حاصل از فروش    نیروی انسانی   چوب کاج     چوب بلوط          

                                    12                     4                 2                 5             X1 میز    

                                   8                        2                 3                2           X2  صندلی    

Maxz = 12X1 + 8 X2

S.t :         5X1 + 2X2 =<150

               2X1 + 3X2 =<100

                4X1 + 2X2 =< 80

                  X1, X2 =>